Вариант 1. Убедитесь в том, что система совместна. Найти решение методом Гаусса. Решение. Запишем расширенную матрицу

  • ID: 38301 
  • 6 страниц
230 рубСкачать

38301.doc

Фрагмент работы:

Задание 1. Убедитесь в том, что система совместна. Найти решение методом Гаусса.

Решение:

[image]

Запишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее методом Гаусса:

[image][image].

Число ненулевых строк как основной, так и расширенной матриц, равно 3, поэтому Rg A = Rg A* =3 и по теореме Кронекера-Капелли система совместна. Ранг основной матрицы равен 3, поэтому в системе есть 3 базисных и 4-3=1 свободных переменные. Выберем в качестве свободной переменной [image]. Найдем общее решение неоднородной системы, причем [image]- базисные неизвестные:

[image]

Общее решение

[image].

Из общего решения системы найдем какое-нибудь частное решение.

Запишем частное уравнение:

[image].

Задание 2. Решить систему с помощью обратной матрицы или по формуле Крамера или методом Гаусса.

Решение:

Решим систему уравнений методом Крамера:

[image]

Найдем главный определитель системы

Т.к. определитель системы не равен 0, то система имеет единственное решение. Найдем его по правилу Крамера

[image]

[image]

[image]

Ответ: [image], [image], [image].

Задание 3. Даны вершины пирамиды: [image].

Решение:

1. Площадь треугольника ABC.

Для вычисления площади грани ABC потребуются вектора [image] и [image].

Вычислим векторное произведение этих векторов: [image].

[image].

Тогда площади грани [image] равна: [image].

2. Косинус угла между векторами [image].

Определим координаты данных векторов:

[image].

Длины векторов [image]:

[image].

[image].

Тогда:

[image].

3. Объем пирамиды ABCD вычислим по формуле: [image]В итоге получим: [image].

4. Определим уравнение грани ABC по формуле:

[image].

Преобразуя, получим: [image] или уравнение грани ABC примет вид: [image].

5. Уравнение прямой, проходящей через точку C перпендикулярно плоскости ABC

[image].

6. Уравнение прямой, проходящей через точки A и C

[image]

Задание 4. Дано уравнение [image]

Решение:

Перепишем уравнение в виде:

[image]

Проведем в скобках “дополнение до полного квадрата” и выполним очевидное преобразование:

[image]