Билет 15. Несобственные интегралы: интегралы от разрывных функций

  • ID: 37835 
  • 5 страниц

Фрагмент работы:

Билет 15. Несобственные интегралы: интегралы от разрывных функций

Билет №15

1. Несобственные интегралы: интегралы от разрывных функций.

Пусть функция...интегрируема на любом отрезке, целиком содержащемся в промежутке [a,b), и бесконечно большая в точке x=b. Если существует предел..., то этот предел называют несобственным интегралом от неограниченной функции...по (a,b) и обозначают его.... Если предел конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится и его значение вычисляют по формуле.... Аналогично определен интеграл...от интегрируемой на любом конечном отрезке, содержащемся в (a,b], бесконечно большой в точке x=a функции.... Если пределы бесконечны, то говорят, что соответствующий несобственный интеграл расходится.

2. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей.

Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть... или.... Тогда, если существует предел отношения производных этих функций..., то существует и предел отношения самих функций f(x)/g(x) при x>а, причем....

Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных.

Если отношение производных опять представляет собой неопределенность вида 0/0 или ?/?, то можно снова применить сформулированную теорему, то есть перейти к отношению вторых производных и так далее.

Для раскрытия неопределенностей 1?, 10, ?0 нужно прологарифмировать данную функцию и найти предел ее логарифма.

Замечание: эта формула справедлива только в том случае, если предел, стоящий справа, существует.

3. Найти дифференциал функции y=f(x), заданной неявно:

Решение:

4. Исследовать и построить график функции....

Решение:

1. Область определения функции.

x?(-?;1)?(1;+?)

2. Асимптоты.

а) вертикальные

x=1

б) горизонтальные

==> y=1 - горизонтальная асимптота при x?-?

==> y=0 - горизонтальная асимптота при x?+?

в) наклонные

y=k?x+b

==> наклонных асимптот нет

3. Четность и нечетность функции.

==> функция свойствами четности или нечетности не обладает.

4. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: x=0 - не входит в область определения

С осью OX: полагаем y=0:..., ==> x=?.

5. Возрастание, убывание, точки экстремумов.

Найдем производную функции.

=...

не существует при..., ==> x=0 - не входит в область определения

Т.к. первая производная положительная на всей области определения, то функция является возрастающей.

6. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба

Найдем вторую производную

=...

не существует при..., ==> x=0 - не входит в область определения

Составим таблицу для определения знака второй производной:

x (-?;1) 1 (1;+?)

+ не сущ. -

y вогнута не сущ. выпукла

Построим график функции

5. Найти интеграл....

Решение:

Разложим дробь на простые слагаемые:

Имеем систему уравнений

6. Вычислить интеграл...

Решение:

7. Исследовать сходимость интеграла...

Решение:

==> интеграл расходится.

8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями... и....

Решение:

Построим графики функций

- парабола, ветви вниз.

Вершина параболы...

- парабола, ветви вверх.

Вершина параболы...

Найдем пределы интегрирования

Вычислим площадь фигуры