Контрольная работа 3, 4: вариант 9

  • ID: 37800 
  • 7 страниц

Фрагмент работы:

№ 289. Найти неопределённый интеграл. В пунктах а) и б) результаты проверить

дифференцированием.

Решение:

а)...

Проверка:...б)...

Проверка:... в)...

Решая систему уравнений, получим:...

Ответ:...

г)...

№ 309. Вычислить или доказать расходимость несобственного интеграла.

Значит, интеграл сходится.

№ 319. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной полуэллипсом..., параболой... и осью Оу.

Решение:

Вычислить длину кардиоиды...

В полярной системе координат длина дуги вычисляется по формуле:...

причем....

Тогда:...

Получим:

Ответ:....

№ 239. Дано.... Показать, что....

Решение:

Вычислим:............

Тогда:... верно.

№ 249. Дана функция... и две точки... и.... Требуется вычислить

приближенное значение... функции в точке В, исходя из значения... функции в

точке А и заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В

дифференциалом; оценить в процентах относительную погрешность

получающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; составить

уравнение касательной плоскости к поверхности... в точке....

Дана функция... и точки.......

1. Вычислим приближенное значение... функции в точке В:

2. Вычислим приближенное значение....

Используем формулу:...

где....

Тогда подставил вычисленные значения в исходную формулу и получим:

3. Оценим погрешность в (%):

4. Составим уравнение касательной плоскости:

Уравнение имеет вид:...

В нашем случае имеем:... или

- уравнение касательной плоскости.

№ 259. Найти наименьшее и наибольшее значение функции

в области D:...

Построим исследуемую область:

Если экстремальное значение функции достигается во внутренней точке области, то по необходимому условию экстремума эта точка должна быть критической. Ищем все критические точки внутри области D:

Решением системы уравнений является точка.... Значение функции....

Исследуем поведение на границе:

1. Рассмотрим прямую.... Тогда.... Критические точки функции одной переменной определяем из решения уравнения:.... Точка... уже рассмотрена.

2. Рассмотрим кривую..., Тогда....... Критические точки функции одной переменной определяем из решения уравнения:....

Получим точки....

3. Точки, получаемые пересечение кривых...:

Сравнивая значения..., получим, что

Наибольшее значение....

Наименьшее значение....

№269. Дана функция... и точка....

Найти: а) градиент данной функции в точке A;

б) производную данной функции в точке A по направлению вектора....

Решение:

а) Вычислим частные производные, используя формулу...:

Вычислим значения...... в точке...:

Вектор-градиент равен:....

б) Найдем направляющие косинусы вектора...:

Подставим все найденные значения в формулу для производной по направлению:

Ответ:...;....

№ 379. Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнение в декартовых координатах (а > 0)

Решение:

Задана кривая вида:...

Построим график функции для...:

Воспользуемся формулой для вычисления площади ограниченной кривыми:

Перейдем к полярным координатам:

В итоге получим:

Получим:

Графиком функции является эллипс.....

Тогда.

Ответ:....

№ 399. Вычислить криволинейный интеграл:... вдоль отрезка L = AB прямой от точки... до точки.... Сделать чертеж.

Решение:

Выполним рисунок к заданию:

Уравнение прямой AB определим по формуле:....

Получим:....