Вычисление обратной матрицы методом Гаусса

  • ID: 37483 
  • 9 страниц

Фрагмент работы:

Вычисление обратной матрицы методом Гаусса

Вычисление обратной матрицы методом Гаусса

Пусть дана неособенная матрица

Необходимо найти её обратную матрицу

Вспомним основное соотношение линейной алгебры:

где Е - единичная матрица.

Перемножая матрицы... и..., получаем... уравнений относительно... неизвестных...:

где...

Таким образом, получим n систем линейных уравнений для..., имеющих одну и ту же матрицу коэффициентов A и различные столбцы - свободные члены, которые можно одновременно решить методом Гаусса.

Задание

Приведем заданную матрицу к единичной, при этом над единичной матрицей будем проводить те же действия, что и над заданной:

Из второй строки вычтем первую деленную на..., а из третьей строки вычтем первую умноженную на...:

Из третьей строки вычтем вторую деленную на -5

Теперь производим обратный ход.

Делим третью строку на 4.2

Ко второй строке прибавим третью умноженную на -0.6

К первой строке прибавим вторую, умноженную на 0.333

Получили:

Сделав проверку умножением, получаем...

Решение СЛАУ методом Зейделя

Метод Зейделя (иногда называемый методом Гаусса-Зейделя) является модификацией метода простой итерации, заключающейся в том, что при вычислении очередного приближения... его уже полученные компоненты... сразу же используются для вычислений....

В координатной форме записи метод Зейделя имеет вид:

где... - некоторое начальное приближение к решению;

Таким образом...-ая компонента...-го приближения вычисляется по формуле:

Условие окончания итерационного процесса Зейделя при достижении точности... в упрощенной форме имеет вид:

Необходимое условие сходимости метода..., где...... - собственные значения матрицы...

Задание

;...

Собственные значения матрицы... (определены при помощи системы MathCAD):

Таким образом, заданная матрица не удовлетворяет условию сходимости метода Зейделя.

Решение трансцендентного уравнения методом Ньютона

Если известно хорошее начальное приближение решения уравнения f(x) = 0, то эффективным методом повышения точности является метод Ньютона (метод касательных). Метод состоит в построении итерационной последовательности xn+1 = xn - f(xn)/f?(xn), сходящейся к корню уравнения f(x) = 0. Сформулируем достаточные условия сходимости метода.

Теорема. Пусть f(x) определена и дважды дифференцируема на [a,b], причём f(a)f(b)0, можно построить последовательность

=...

сходящуюся к единственному на [a,b] решению ? уравнения f(x) = 0.

Метод Ньютона допускает простую геометрическую интерпретацию. Если через точку с координатами (xn;f(xn)) (рис. 2.2) провести касательную, то абсцисса точки пересечения этой касательной с осью Ox и есть очередное приближение xn+1 корня уравнения f(x) = 0.

Для оценки погрешности n-го приближения корня можно воспользоваться неравенством

где M2 - наибольшее значение модуля второй производной |f?(x)| на отрезке [a,b]; m1 -наименьшее значение модуля первой производной |f?(x)| на отрезке [a,b]. Таким образом, если |xn - xn-1|