Вычисление обратной матрицы методом Гаусса

  • ID: 37483 
  • 9 страниц

Фрагмент работы:

Вычисление обратной матрицы методом Гаусса

Пусть дана неособенная матрица

[image]

Необходимо найти её обратную матрицу

[image]

Вспомним основное соотношение линейной алгебры:

[image]

где Е – единичная матрица.

Перемножая матрицы [image] и [image], получаем [image] уравнений относительно [image] неизвестных[image]:

[image]

где [image]

Таким образом, получим n систем линейных уравнений для [image], имеющих одну и ту же матрицу коэффициентов A и различные столбцы - свободные члены, которые можно одновременно решить методом Гаусса.

Задание

[image], [image]

Приведем заданную матрицу к единичной, при этом над единичной матрицей будем проводить те же действия, что и над заданной:

Из второй строки вычтем первую деленную на [image], а из третьей строки вычтем первую умноженную на[image]:

[image], [image]

Из третьей строки вычтем вторую деленную на -5

[image], [image]

Теперь производим обратный ход.

Делим третью строку на 4.2

[image], [image]

Ко второй строке прибавим третью умноженную на -0.6

[image], [image]

К первой строке прибавим вторую, умноженную на 0.333

[image], [image]

Получили:

[image], [image]

Сделав проверку умножением, получаем[image]

Решение СЛАУ методом Зейделя

Метод Зейделя (иногда называемый методом Гаусса-Зейделя) является модификацией метода простой итерации, заключающейся в том, что при вычислении очередного приближения [image] его уже полученные компоненты [image] сразу же используются для вычислений [image].

В координатной форме записи метод Зейделя имеет вид:

[image],

где [image] - некоторое начальное приближение к решению;

Таким образом [image]-ая компонента [image]-го приближения вычисляется по формуле:

[image], [image]

Условие окончания итерационного процесса Зейделя при достижении точности [image] в упрощенной форме имеет вид:

[image]

Необходимое условие сходимости метода [image], где [image], [image] - собственные значения матрицы [image]

Задание

[image]; [image]