Билет 21. Дифференциальные уравнения первого порядка. Условия существования и единственности решения

Фрагмент работы:

Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Дистанционное обучение

Направление «Телекоммуникации». Ускоренная подготовка

Дисциплина «Высшая математика»

Экзамен. Часть 2.

БИЛЕТ № 21

1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Условия существования и единственности решения.

Ответ:

имеет вид [image] или [image], где y – неизвестная функция от переменной x.

Функция [image] называется , если при подстановке [image] и ее производной в данное уравнение, получается тождество.

Совокупность всех решений дифференциального уравнения называется . Оно представляется в виде некоторой функции [image] ([image]-постоянная). При надлежащем выборе постоянной [image], функция [image] задает любое частное решение.

Задача нахождения решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию [image], называется

Задача Коши. Теорема существования и единственности решения.

Задача нахождения решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию [image], называется

Пустьв замкнутой области [image]функции [image]и [image] непрерывны. Тогда на некотором отрезке [image] существует единственное решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию [image]. При этом можно взять [image], где a и b указаны выше, а m – любое такое, что [image]. Последовательность приближений, определяемые формулами [image] равномерно сходится к решению на указанном отрезке.

Замечание: Для существования решения достаточно только непрерывности [image] в области R, но при этом решение может не быть единственным.

Найти градиент функции [image]в точке [image] [image].

Решение:

Вычислим частные производные функции [image]:

[image][image]Вычислим значение частных производных в точке M(1,1):

[image], [image].

Градиент функции в точке M(1,1) определим по формуле:

[image].

3. Изменить порядок интегрирования. Область интегрирования изобразить на чертеже.

Решение:

Выполним чертеж заданной области:

[image]

Заданную область можно записать виде множества:

[image].

Тогда

[image].

4. Исследовать на сходимость ряд: [image]

Решение:

Перепишем ряд в виде: [image]

Воспользуемся признаком Даламбера: