Билет 21. Дифференциальные уравнения первого порядка. Условия существования и единственности решения
- ID: 37410
- 6 страниц
Фрагмент работы:
Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики
Дистанционное обучение
Направление «Телекоммуникации». Ускоренная подготовка
Дисциплина «Высшая математика»
Экзамен. Часть 2.
БИЛЕТ № 21
1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Условия существования и единственности решения.
Ответ:
имеет вид [image] или [image], где y – неизвестная функция от переменной x.
Функция [image] называется , если при подстановке [image] и ее производной в данное уравнение, получается тождество.
Совокупность всех решений дифференциального уравнения называется . Оно представляется в виде некоторой функции [image] ([image]-постоянная). При надлежащем выборе постоянной [image], функция [image] задает любое частное решение.
Задача нахождения решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию [image], называется
Задача Коши. Теорема существования и единственности решения.
Задача нахождения решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию [image], называется
Пустьв замкнутой области [image]функции [image]и [image] непрерывны. Тогда на некотором отрезке [image] существует единственное решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию [image]. При этом можно взять [image], где a и b указаны выше, а m – любое такое, что [image]. Последовательность приближений, определяемые формулами [image] равномерно сходится к решению на указанном отрезке.
Замечание: Для существования решения достаточно только непрерывности [image] в области R, но при этом решение может не быть единственным.
Найти градиент функции [image]в точке [image] [image].
Решение:
Вычислим частные производные функции [image]:
[image][image]Вычислим значение частных производных в точке M(1,1):
[image], [image].
Градиент функции в точке M(1,1) определим по формуле:
[image].
3. Изменить порядок интегрирования. Область интегрирования изобразить на чертеже.
Решение:
Выполним чертеж заданной области:
[image]
Заданную область можно записать виде множества:
[image].
Тогда
[image].
4. Исследовать на сходимость ряд: [image]
Решение:
Перепишем ряд в виде: [image]
Воспользуемся признаком Даламбера: