Билет 21. Дифференциальные уравнения первого порядка. Условия существования и единственности решения

Фрагмент работы:

Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Дистанционное обучение

Направление "Телекоммуникации". Ускоренная подготовка

Дисциплина "Высшая математика"

Экзамен. Часть 2.

БИЛЕТ № 21

1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Условия существования и единственности решения.

Ответ:

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид... или..., где y - неизвестная функция от переменной x.

Функция... называется решением дифференциального уравнения, если при подстановке... и ее производной в данное уравнение, получается тождество.

Совокупность всех решений дифференциального уравнения называется общим решением. Оно представляется в виде некоторой функции... (...-постоянная). При надлежащем выборе постоянной..., функция... задает любое частное решение.

Задача нахождения решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию..., называется задачей Коши.

Задача Коши. Теорема существования и единственности решения.

Задача нахождения решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию..., называется задачей Коши.

Теорема существования и единственности решения уравнения... с начальным условием....

Пусть в замкнутой области...функции...и... непрерывны. Тогда на некотором отрезке... существует единственное решение уравнения..., удовлетворяющее начальному условию.... При этом можно взять..., где a и b указаны выше, а m - любое такое, что.... Последовательность приближений, определяемые формулами... равномерно сходится к решению на указанном отрезке.

Замечание: Для существования решения достаточно только непрерывности... в области R, но при этом решение может не быть единственным.

2. Найти градиент функции...в точке.......

Решение:

Вычислим частные производные функции...:

Вычислим значение частных производных в точке M(1,1):

Градиент функции в точке M(1,1) определим по формуле:

3. Изменить порядок интегрирования. Область интегрирования изобразить на чертеже.

Решение:

Выполним чертеж заданной области:

…

Заданную область можно записать виде множества:

Тогда

4. Исследовать на сходимость ряд:...

Решение:

Перепишем ряд в виде:...

Воспользуемся признаком Даламбера:

Поэтому по признаку Даламбера ряд расходится.

5. Данную функцию разложить в ряд Тейлора по степеням х:...

Решение:

Представим заданную функцию в удобном виде:....

Формула Тейлора имеет вид:

Воспользуемся разложением:

m - любое действительное число.

Тогда

…

6. Найти частное решение дифференциального уравнения....

Решение:

- линейное уравнение.

Тогда решение уравнения будет искать в виде....

Получим после подстановки:.... (1)

Пусть..., тогда.... Интегрируя обе части равенства, получим:

или..., где........

Подставляя в (1), получим:... или..., интегрируя обе части равенства, получим:....

Тогда....

В итоге общее решение дифференциального уравнения примет вид:....

Используя начальные данные, получим:

Частное решение имеет вид:

7. Найти частное решение дифференциального уравнения..........

Решение:

Решаем однородное уравнение:.... Составим характеристическое уравнение

Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид:....

Число... - корень кратности 1. Тогда частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:

Подставляем и получим:....

Тогда....

Общее решение:... и....

Ищем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям...:

Находим, что.......

Окончательно, получим:...

Ответ:

Общее решение:....

Частное решение:....

…