Контрольная работа 4, 5, 6: вариант 5

  • ID: 37239 
  • 12 страниц

Фрагмент работы:

Контрольная работа 4, 5, 6: вариант 5

К.Р. №4.

№1.

№2.

№3.

№4.

№5.

№6.

Для расчета будем использовать формулу для приближенных вычислений:

=...

В данном случае целесообразно использовать следующую функцию и точки x и x0:

=...

Найдем производную функции

Тогда...

№7.

№8.

Найдем точку пересечения линий:

==>..., ==>...

Найдем углы наклона обеих линий в точке касания:

==>...

==>...

Тогда угол пересечения линий будет равен:...

К.Р. №5.

№1.

а)...

1. Область определения функции.

x?1, x?(-?;1)?(1;+?)

2. Четность и нечетность функции.

==> функция свойствами четности или нечетности не обладает.

3. Периодичность функции.

Данная функция не является периодической как дробно-рациональная.

4. Непрерывность функции.

Данная функция является непрерывной на всей области определения.

5. Асимптоты.

а) вертикальные

x=1

б) горизонтальные

Горизонтальных асимптот нет.

в) наклонные

y=k?x+b

y=x+1 - наклонная асимптота

6. Интервалы монотонности и точки экстремумов.

Найдем производную функции.

:..., ==>...

не существует при x=1

Составим таблицу для определения знака первой производной:

x (-?;1-...) 1-... (1-...;1) 1 (1;1+...) 1+... (1+...;+?)

+ 0 - не сущ. - 0 +

y возрастает max

ymin=2-2... убывает не сущ. убывает min

ymin=2+2... возрастает

7. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную

==> x=?

не существует при x=1

Составим таблицу для определения знака второй производной

x (-?;1) 1 (1;+?)

- не сущ. +

y выпукла не сущ. вогнута

8. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: полагаем x=0, тогда....

С осью OX: полагаем y=0, тогда..., ==> x=?.

9. Дополнительные точки.

x=-2: y=-2

x=4: y=6

Построим график функции

б)...

1. Область определения функции.

4-x2>0

4-x2=0

=...

Т.к. ветви параболы 4-x2 направлены вниз, то 4-x2>0 при x?(-2;2)

2. Асимптоты.

а) вертикальные

x=-2

x=2

б) горизонтальных и наклонных нет, т.к. ?? не входит в область определения

3. Четность и нечетность функции.

==> функция является четной, и ее график симметричен относительно оси ординат.

4. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: x=0, тогда....

С осью OX: полагаем y=0, тогда... ==>... ==>... ==>....

5. Интервалы монотонности и точки экстремумов.

Найдем производную функции.

==> x=0

y'? при x=?2 - не входят в область определения.

Составим таблицу для определения знака производной

x (-2;0) 0 (0;2)

y' + 0 -

y возрастает максимум

ymax= 2 ln 2 убывает

6. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную

==> x=?

? при x=?2 - не входят в область определения.

Т.к. вторая производная всегда отрицательна, то функция является выпуклой.

Построим график функции.

№2.

[-1;0]

:

Отрезку [-1;0] принадлежат оба корня.

Определим значения функции в критических точках и на границах интервала:

x=-1:...

x=0:...

Таким образом, на интервале [-1;0] минимальное значение функции равно 0, а максимальное....

№3.

Площадь кругового сектора равна

где R - радиус круга, ? - величина дуги в градусах.

Длина дуги окружности находится по формуле

где R - радиус круга, ? - величина дуги в градусах.

Периметр участка будет равен

==>....

Подставим это выражение в формулу для площади и исследуем ее на наибольшее значение при R?(0;+?).

Найдем производную и приравняем ее к 0:

при..., ==>...

==> при... функция выпукла, поэтому... - точка максимума.

м2.

К.Р. №6.

№1.

Тогда:

№2.

Геометрический смысл частных производных:

если Гx есть сечение поверхности плоскостью y=const и ? - угол, образованный с осью Ox касательной в точке М0, то....

если Гy есть сечение поверхности плоскостью x=const и ? - угол, образованный с осью Oy касательной в точке М0, то....

№3.

А(1;1;0)

Уравнение касательной плоскости имеет вид:

Найдем частные производные:

Тогда уравнение касательной плоскости будет иметь вид:

Уравнение нормали к поверхности имеет вид:

№4.

В качестве функции... целесообразно выбрать следующую функцию двух переменных:

Заменим приращение функции дифференциалом. В этом случае значение функции приближенно можно получить по формуле:

=...

Найдем частные производные функции:

Тогда

№5.

Областью определения данной функции является вся координатная плоскость.

Найдем частные производные

Найдем критические точки функции

или...

Получилась две точки, подозрительные на экстремум: M1(0;0) и M2(-...;-...).

Найдем частные производные второго порядка в точке M1:

==> в точке в точке M1 нет экстремума.

Найдем частные производные второго порядка в точке M2:

==> в точке M2 есть экстремум. Т.к. A