Решить по формулам Крамера системы

  • ID: 37017 
  • 15 страниц

Фрагмент работы:

Решить по формулам Крамера системы

Даны матрицы:

Задача 1. Вычислить определители..........

Решение:

Найдем определитель матрицы D разложением по первой строке:

Задача 2. Решить по формулам Крамера системы а)..., б)....

Решение:

а) По методу Крамера решение системы линейных уравнений... найдем по формулам:

Определитель не равен нулю, значит, решение системы уравнений существует и оно единственное.

б)...

Данная система уравнений также имеет единственное решение.

Задача 3.

а) Найти матрицы.... Проверить равенства.......

б) Найти матрицы.... Проверить равенства.......

в) Выполнить, если это возможно, операции над матрицами DK, DF, YTB, ZKT, F+B, FG+B, FT+G, FY, GF.

Решение:

а)......

б)...

в)...

Произведение DF найти невозможно, так как матрица D имеет 4 столбца, а матрица F - только 2 строки.

Сложить F+B нельзя, так как размерности матриц различны.

Произведение FY найти невозможно, так как матрица F содержит 3 столбца, а матрица Y 2 строки.

Задача 4. Найти матрицы В-1 и С-1, сделать проверку.

Решение:

Проверка:

Получили единичную матрицу, значит, обратная матрица найдена правильно.

Проверка:

С-1 найдена правильно.

Задача 5. Решить системы... и... с помощью обратной матрицы.

Решение:

Решение системы линейных уравнений в матричном виде:

Задача 6.

а) Найти.........

б) Совместна или несовместна система...?

Решение:

а) Найдем ранг матрицы А методом окаймляющих миноров.

В качестве определителя первого порядка возьмем ненулевой элемент матрицы...:....

Вычислим минор 2-го порядка, содержащий минор...:

Вычислим миноры третьего порядка, окаймляющие...:

Поскольку все миноры 3-го порядка, окаймляющие..., равны нулю, то....

Найдем...:

Так как все миноры 2-го порядка, окаймляющие..., равны нулю, то....

б) По теореме Кронекера-Капелли система уравнений будет совместной тогда и только тогда, когда ранг матрицы А равен рангу расширенной матрицы.... Ранг..., найдем ранг...:

Минор... у матриц А и... будет общим, вычислим миноры третьего порядка..., окаймляющие...:

Так как..., то система... несовместна.

Задача 7. Решить методом Гаусса систему....

Решение:

Запишем расширенную матрицу системы:

С помощью элементарных преобразований приведем расширенную матрицу к треугольному виду:

Преобразованной расширенной матрице соответствует следующая система уравнений:

Задача 8. Найти общие решения систем 1)..., 2)..., 3)..., 4)... (... - произвольное вещественное число). В системах 1), 3) общее решение найти в виде линейной комбинации решений фундаментальной системы, в системах 2), 4) - в виде суммы общего решения однородной системы и частного решения неоднородной. Дать геометрическую интерпретацию систем и их общих решений, объяснить сходство и различие с геометрической точки зрения. Сделать схематические чертежи.

Решение:

1)....

Базисным минором является матрицы F..., базисными переменными будут переменные..., свободной переменной -....

Общее решение в виде линейной комбинации решений фундаментальной системы:

2)...

Решение в виде суммы общего решения однородной системы и частного решения неоднородной:

3)...

Базисной будет переменная..., переменные... будут свободными.

4)...

С геометрической точки зрения каждая из систем 1) и 2) представляет собой 2 непараллельные плоскости в пространстве. Решением такой системы будет прямая - результат пересечение этих плоскостей. Любая точка, принадлежащая этой прямой, будет решением системы, поэтому решений бесчисленное множество. Конкретное решение получаем, придавая одной из неизвестных (выбранной свободной) определенное значение:

Системы 3) и 4) представляют собой плоскость в пространстве, и любая точка этой плоскости является решением. Решений также бесчисленное множество, но конкретные решения получаем, придавая определенные значения двум неизвестным:

Задача 9. Решить систему....

Решение:

Первая и вторая строки матрицы... являются линейной комбинацией третьей строки (вторая строка получается умножением третьей на -2, первая - умножением третьей на 3). Следовательно, ранг матрицы.... В качестве базисной выберем переменную..., переменные... будут свободными.

Придавая свободным переменным произвольные значения, получим решение системы:

Задача 10. Проверить, какие из векторов будут собственными векторами матрицы А. Найти все значения, которым они будут соответствовать.

Решение:

Вектор... является собственным вектором матрицы А, если..., где... - собственное значение матрицы.

Значит, вектор... является собственным вектором матрицы А, соответствующим собственному значению....

Вектор... является собственным вектором матрицы А, соответствующим собственному значению....

Вектор... не является собственным вектором матрицы А.

Задача 11. Доказать, что вектора... образуют базис. Найти разложение вектора... в базисе....

Решение:

Если вектора... образуют базис, то определитель матрицы, составленной из этих векторов, не должен равняться нулю:

следовательно, вектора... образуют базис. Координаты вектора... в этом базисе являются решением системы уравнений:

Найдем обратную матрицу:

Координаты вектора... в базисе...: