Вариант 10: Контрольная работа 1: задача 1, задача 2: пункты 2 и 4, задача 4 пункты: 1, 2, 3, 4, 6. Контрольная работа 2: задача 5, 6, 7

  • ID: 36479 
  • 7 страниц

Фрагмент работы:

Вариант 10: Контрольная работа 1: задача 1, задача 2: пункты 2 и 4…

Контрольная работа №1.

Матрицы и определители. Системы линейных уравнений. Векторы на плоскости и в пространстве.

Задача 1. Даны матрицы A, B, C, D, X, Y.

1. Найдите произведение матриц...;

2. Убедитесь в верности равенств...;

3. Найдите матрицу..., обратную матрицу A. Сделать проверку;

4. решите матричное уравнение.... Сделать проверку.

Решение:

Заданы матрицы:

1. Вычислим:

2. Вычислим:

- верно.

- верно.

- верно.

- верно.

3. Найдем определитель системы

6 2 8

=...

-1 9 -3

Т.к. определитель системы не равен 0, то система имеет единственное решение. Найдем его с помощью обратной матрицы. Найдем алгебраические дополнения:

=...

9 -3 9 -3 0 4

=...

-1 -3 -1 -3 3 4

=...

-1 9 -1 9 3 0

Проверка:

4..... Решим эту систему матричным методом. В этом случае решение находится по формуле: X=A-1?Y.

Задача 2. На векторах... построен параллелограмм. Найдите:

1. Угол между диагоналями параллелограмма;

2. площадь параллелограмма;

3. высоту параллелограмма..., опущенную на вектор...;

4. проекцию вектора... на вектор..., если:

Решение:

Выполним чертеж:

1. Скалярное произведение двух векторов называется произведение длин этих векторов на косинус угла между ними и определяется по формуле:

Диагонали параллелограмма совпадают с векторами... и...:

Скалярное произведение векторов... и... равно:

Тогда:....

2. Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения и определяется формулой:

3. Высота параллелограмма, опущенную на вектор... определим по формуле:....

Вычислим длину вектора...:....

Окончательно, получим:....

4. Проекцию ветра определим по формуле:

Задача 4. Даны координаты точек:....

Найдите:

1. Координаты векторов...; проверить, будут ли вектора компланарны;

2. угол... и проекции векторов... и... друг на друга (...);

3. единичный вектор..., коллинеарный вектору..., если...; выяснить, будут ли векторы... и... перпендикулярны;

4. вектор...; выяснить будут ли векторы... и... коллинеарны;

6. объем параллелепипеда, построенного на векторах.........;

Решение:

1. Найти координаты векторов...; проверить, будут ли вектора компланарны. Построить эти вектора и указать соотношение между ними.

Векторы являются компланарными, если их смешанное произведение равно нулю:

Значит, вектора компланарны и лежат в одной плоскости.

2. Найти угол....

3. Найти....

Проекцию ветра определим по формуле:

4. Найти вектор..., если....

5.....

Проверим коллинеарность векторов... и...:

Соотношение коллинеарности выполнено.

Значит вектора коллинеарны.

6. Объем параллелепипеда определим по формуле:

В итоге получим:....

Контрольная работа №2.

Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.

Задача 5. Даны координаты точек... вершин треугольника ABC.

Сделайте чертеж и найдите:

1. длины сторон AB и AC;

2. угол между сторонами AB и AC;

3. площадь треугольника ABC;

4. уравнение и длину высоты CD, опущенной из вершины C на сторону AB;

5. уравнение медианы BM, проведенной из вершины B на сторону AC;

6. координаты точки пересечения высоты CD и медианы BM.

Решение:

1. Расстояние между двумя точками определяется формулой:....

Получим:

2. Угол между сторонами определим по формуле:

4. Уравнение прямой проходящей через две точки:....

Тогда уравнение прямой AB, примет вид:

или..., тогда получим...- уравнение стороны AB.

Уравнение высоты СD и ее длину:

Так как..., то вектор... является коллинеарным вектором c прямой CD. Тогда получаем:....

Длину высоты CD определим как расстояние от точки C до прямой AB по формуле:

5. Координаты точки M определим по формуле:

Тогда уравнение прямой BM, примет вид:

или..., тогда получим...- уравнение стороны BM.

Задача 7. Даны координаты точек... вершин пирамиды SABC.

Найдите:

1. длину ребра AB, AC, AS;

2. угол между ребрами AB, AC;

3. длину проекции ребра AB на ребро AS;

4. площадь грани ABC;

5. длину высоты SH, опущенной из вершины C на ребро AB.

Решение:

1. Расстояние между двумя точками определяется формулой:....

Получим:

4. Площадь грани ABC:

Для вычисления площади грани... потребуются вектора... и....

Вычислим векторное произведение этих векторов:....

Тогда площади грани... равна:....