Контрольная работа 3, 4, вариант 9

  • ID: 36452 
  • 9 страниц

Фрагмент работы:

Задача 269. Найти частные производные второго порядка [image] функции [image].

Решение:

[image]. [image].

[image]. [image].

[image].

Задача 289. Исследовать на экстремум функцию [image].

Решение:

1.Находим область определения данной функции [image]. Так как в данной задаче [image] и [image] могут принимать любые значения, то областью определения функции [image] является множество всех пар чисел [image] или, что, тоже самое, все точки координатной плоскости [image].

2. Найдем частные производные данной функции.

[image], [image].

3. Найдем точки, где эти производные равны нулю.

[image].

Таким образом, в области определения имеется лишь одна критическая точка: [image].

4. Найдем вторые производные функции [image].

[image], [image], [image].

5. Проверим выполнение достаточных условий экстремума. Вычислим значения вторых производных в найденной критической точке [image] и значение величины [image]:

[image], [image], [image].

[image].

Следовательно, экстремум в точке [image] может быть или нет. Так как [image], то в точке [image] - минимум функции.

6. Найдем значение функции [image] в точке максимума:

[image].

Точка [image] - точка максимума функции [image].

Задача 309. Построить на плоскости Oxy область интегрирования заданного интеграла [image]; изменить порядок интегрирования и вычислить интеграл.

Решение:

Выполним чертеж заданной области:

[image]

Тогда:

[image]

[image]

[image].

Задача 329. Найти объем тела, ограниченного следующими поверхностями [image]. Данное тело и область интегрирования изобразить на чертеже.

Решение:

[image]- уравнение параболической поверхности.

[image],[image] - плоскости с образующими, параллельно осям y и z.

[image],[image] - плоскости с образующими, параллельно осям x и z.

Выполним чертеж:

[image]

[image]

[image].

Объем тела равен: [image].