Контрольная работа 3, 4, вариант 9

  • ID: 36452 
  • 9 страниц

Фрагмент работы:

Контрольная работа 3, 4, вариант 9

Задача 269. Найти частные производные второго порядка... функции....

Решение:

Задача 289. Исследовать на экстремум функцию....

Решение:

1. Находим область определения данной функции.... Так как в данной задаче... и... могут принимать любые значения, то областью определения функции... является множество всех пар чисел... или, что, тоже самое, все точки координатной плоскости....

2. Найдем частные производные данной функции.

3. Найдем точки, где эти производные равны нулю.

Таким образом, в области определения имеется лишь одна критическая точка:....

4. Найдем вторые производные функции....

5. Проверим выполнение достаточных условий экстремума. Вычислим значения вторых производных в найденной критической точке... и значение величины...:

Следовательно, экстремум в точке... может быть или нет. Так как..., то в точке... - минимум функции.

6. Найдем значение функции... в точке максимума:

Точка... - точка максимума функции....

Задача 309. Построить на плоскости Oxy область интегрирования заданного интеграла...; изменить порядок интегрирования и вычислить интеграл.

Решение:

Выполним чертеж заданной области:

Тогда:

Задача 329. Найти объем тела, ограниченного следующими поверхностями.... Данное тело и область интегрирования изобразить на чертеже.

Решение:

- уравнение параболической поверхности.

- плоскости с образующими, параллельно осям y и z.

- плоскости с образующими, параллельно осям x и z.

Выполним чертеж:

Объем тела равен:....

Задача 349. Найти работу силы... при перемещении вдоль линии...:....

Решение:

Выполним чертеж:

Тогда:

Задание 369. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциальных уравнений первого порядка.

Решение:

Данное уравнение является однородным. Замена... или....

Подставим в исходное уравнение и получим уравнение вида:

или....

интегрируя обе части равенства, получим:....

Но.... Тогда....

Общее решение примет вид:....

Задание 389. Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка..., удовлетворяющее указанным условиям....

Решение:

Решаем однородное уравнение:.... Составим характеристическое уравнение

Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид:....

Так как... - корень кратности 1, то частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:..., тогда....... Подставляем в исходное уравнение и получим:..., откуда.... Тогда....

Общее решение:... и....

Ищем решение, удовлетворяющее начальным условиям...:

Окончательно, получим:....

Задание 409. Даны дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным условиям.

Решение:

Уравнение не содержит явно..., поэтому сделаем замену......, тогда уравнение примет вид:....

Интегрируя обе части равенства, получим:

Используя начальные данные, получим:

Так как....

Используя начальные данные, получим:

Частное решение примет вид:....

Задание 429. Дан степенной ряд... написать первые четыре члена ряда, найти интервал сходимости ряда и выяснить вопрос о сходимости ряда на концах интервала. Причем:....

Решение: дан ряд..., написать первые четыре члена ряда

Ищем радиус сходимости ряда, используя формулу Даламбера:..., в нашем случае....

Тогда....

При... - ряд сходится. Вычислим поведение ряда на концах интервала:

При...:... - ряд знакочередующийся.

Так как... и... то есть..., то по теореме Лейбница ряд сходится.

При...:....

Применим интегральный признак сходимости рядов:... - интеграл расходится. Значит, расходится и ряд.

Ответ: Ряд сходится....

Задание 449. При указанных начальных условиях найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд функции..., являющейся решением заданного дифференциального уравнения....

Решение:

Ищем решение в виде разложения в степенной ряд функции...:

Найдем три первых, отличных от нуля члена степенного ряда:

Тогда три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд, будут иметь вид:

Задание 469. В первой урне 3 белых и 2 черных шара, во второй 3 белых и 5 черных. Из первой во вторую перекладывают, не глядя два шара, после чего из второй урны извлекают шар. Найти вероятность того, что этот шар окажется белым. Какова вероятность того, что из первой во вторую урну были переложены черный и белый шары, если из второй урны извлечен белый шар?

Решение:

а) Рассмотрим события:

H1 - из первой урны вынули 2 белых шара

H2 - из первой урны вынули 1 белый и 1 черный шар

H3 - из первой урны вынули 2 черных шара

A - наугад взятый из второй урны шар оказался белым.

Тогда

=...

Соответственно, после перекладывания шаров во вторую урну, возможны события:

1. 5 белых и 5 черных при условии, что вынут 1 белый

2. 4 белых и 6 черных при условии, что вынут 1 белый

3. 3 белых и 7 черных при условии, что вынут 1 белый.

=...

=...

=...

События H1, H2 и H3 образуют полную группу, поэтому по формуле полной вероятности получим:

=....

б) вероятность того, что из первой во вторую урну были переложены черный и белый шары, если из второй урны извлечен белый шар, можно определить по формуле Байеса

Задание 489. Производится набрасывание колец на колышек до первого успеха, при этом число всех колец, имеющихся в расположении, равно 5. X - число использованных колец, вероятность набрасывания равна 0,25, k = 2. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины X. Построить график функции распределения и найти вероятность события....

Решение:

1) Определим возможные значения случайной величины Х и их вероятности.... =...

Х=1: P(первым кольцом попали)=...

Х=2: P(первым промах, вторым попали)=...

Х=3: P(первым, вторым промах, третьим попали)=...

Х=4:...

Х=5:...

Запишем ряд распределения

x 1 2 3 4 5

p...............

Математическое ожидание и дисперсия находятся по формуле:

Для биномиального закона математическое ожидание и дисперсию можно найти по формулам:

Изобразим ряд распределения графически в виде многоугольника

Составим функцию распределения:

Построим график функции распределения