Найти частное решение дифференциального уравнения

  • ID: 36127 
  • 4 страницы

Фрагмент работы:

Контрольная работа 2

Задание 74. Найти частное решение дифференциального уравнения:

[image]

Решение:

Данное уравнение является линейным относительно переменной y.

Тогда решение уравнения будет искать в виде [image].

Получим после подстановки: [image].

Пусть [image], тогда [image]. Интегрируя обе части равенства, получим:

[image], где [image]. [image]. Подставляя в исходное уравнение, получим:

[image] или [image], интегрируя обе части равенства, получим: [image]. [image]. Тогда [image].

Общее решение примет вид: [image].

Используя начальные данные [image], получим: [image].

Тогда частное решение имеет вид: [image].

Задание 84. Найти область сходимости ряда [image].

Решение:

Задан степенной ряд [image].

Сделаем замену переменной: y=x-4, тогда ряд примет вид:

[image]

Определим радиус сходимости ряда:

[image].

Т.е. y=0 – единственная точка сходимости. Перейдем к старым переменным x=4

Окончательно получим, что ряд сходится при x=4.

Задание 94. Разложить функцию [image] в ряд Фурье. Сделать чертеж.

Решение:

[image]

Функция не обладает свойствами четной или нечетной функции на интервале [image].

Ряд Фурье для интервала [image] имеет вид: [image]

, где

[image], [image].

Вычислим:

[image].

[image]

[image].

Отличны от нуля только коэффициенты с нечетными индексами: [image].

[image]

[image]

Ответ: [image].

Задание 104. Электрическая цепь составлена из блоков по данной схеме. Найти вероятность разрыва цепи, если вероятность выхода из строя каждого блока равна p=0,4.

Решение:

[image]

Пусть A, B, C, D – соответственно отказ блоков 1, 2, 3, 4. Соответственно [image] - блоки 1, 2, 3, 4 работают.

В нашем случае удобнее найти событие E (электрическая цепь работает):

[image]

Тогда вероятность событие F (разрыв цепи) определим по формуле: [image]

[image]

Ответ: [image]