Контрольная работа 1, 2, шифр 55: задачи 4, 15, 25, 32, 46, 57, 63, 74

  • ID: 35306 
  • 11 страниц

Фрагмент работы:

Задача 4.

Для сигнализации на складе установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при необходимости первое устройство сработает, составляет р1=98%, для второго и третьего устройства эти вероятности равны соответственно р2=85% и р3=80%. Найти вероятность того, что в случае необходимости сработают:

1) все устройства;

2) только одно устройство;

3) хотя бы одно устройство.

Решение:

1) обозначим через событие А - все устройства сработали. Тогда

2) обозначим через событие В - сработает только одно устройство.

3) обозначим через событие С - хотя бы одно устройство сработало, т.е. сработало одно или два или три устройства.

Противоположное событие...- ни одно устройство не сработало.

Следовательно

Ответ: 1) 0.6664 ; 2) 0.035 ; 3) 0.9994

Задача 15.

В партии, состоящей из n=40 одинаково упакованных изделий, смешаны изделия двух сортов, причем k=25 из этих изделий - первого сорта, а остальные изделия - второго сорта. Найти вероятность того, что взятые наугад два изделия окажутся:

1) одного сорта;

2) разных сортов.

Решение:

1) событие А - изделия одного сорта

2) событие В - изделия разных сортов

Ответ: 1) 0.5192; 2) 0.4807

Задача 25.

В данный район изделия поставляются двумя фирмами, их объем находится в соотношении 5:8. Среди продукции первой фирмы стандартные изделия составляют 90%, у второй этот показатель 85%.

1) Какова вероятность, что взятое изделие оказалось стандартным?

2) Взятое наугад изделие оказалось стандартным. Найти вероятность того, что оно изготовлено первой фирмой.

Решение:

Обозначим через:

событие... - взятое наугад изделие, оказалось стандартным

событие... - изделие поставлено первой фирмой

событие... - изделие поставлено второй фирмой

По условию задачи имеем объем поставок продукции первой и второй фирм в соотношении 5:8, т.е.

Тогда

- вероятность того, что стандартное изделие поставлено первой фирмой

- вероятность того, что стандартное изделие поставлено второй фирмой

1) Найдем вероятность того, что взятое наугад изделие оказалось стандартным, используя формулу полной вероятности:

2) Взятое наугад изделие оказалось стандартным. Найти вероятность того, что оно изготовлено первой фирмой. Воспользуемся формулой Байеса:

Ответ: 1) 0.8692 ; 2) 0.3982

Задача 32.

Вероятность того, что в результате проверки изделию будет присвоен знак "изделие высшего качества" равна p=0,3.

1. На контроль поступило n=7 изделий. Какова вероятность того, что знак высшего качества будет присвоен:

а) ровно m=4 изделиям;

б) более чем k=5 изделиям;

в) хотя бы одному изделию;

г) указать наивероятнейшее количество изделий, получивших знак высшего качества, и найти соответствующую ему вероятность.

2. При тех же условиях найти вероятность того, что в партии из N=24 изделий знак высшего качества получает:

а) ровно половина изделий;

б) не менее чем k1=5, но не более, чем k2=15 изделий.

Решение:

1. а) Искомую вероятность найдем по формуле Бернулли:

где...

б) обозначим через событие А - более чем k=5 изделиям присвоен знак высшего качества.

в) событие С - хотя бы одному изделию - одному и более.

Противоположное событие...- ни одному изделию

г) найдем наивероятнейшее... количество изделий, получивших знак высшего качества по формуле:

т.е. вероятнее всего два изделия получат знак высшего качества

Соответствующая ему вероятность равна:

2. а) воспользуемся локальной теоремой Лапласа:

где...

Получаем:

б) будем использовать интегральную теорему Лапласа:

Задача 46.

В лотерее на каждые 100 билетов приходиться m1=2 билетов с выигрышем a1=6 тыс. рублей, m2=4 билетов с выигрышем a2=5 тыс. рублей, m3=6 билетов с выигрышем a3=4 тыс. рублей и т.д. Остальные билеты из сотни не выигрывают.

Составить закон распределения величины выигрыша для владельца одного билета и найти его основные характеристики: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Пояснить смысл указанных характеристик.

Решение:

Случайная величина Х - дискретная величина. Составим закон распределения этой случайной величины, перечислив все е возможные значения и найдя соответствующие им вероятности. Число выигрышных билетов из 100 составляет: 2+4+6+10+15+20=57, значит, число невыигрышных билетов: 100 - 57 =43.

Располагая величины возможного выигрыша...в порядке возрастания, получим следующую таблицу:

0 1 2 3 4 5 6

Где

Отметим, что...

а) Математическое ожидание случайной величины Х:

Ожидаемый средний выигрыш на один билет составляет 1,36 тыс.руб.

Дисперсию вычислим по формуле:

Среднее квадратическое отклонение равно:

1,591 тыс.руб. - характеристика разброса фактических значений выигрыша от найденного среднего значения...1,36, то есть основные значения случайной величины выигрыша находятся в диапазоне (1,36...1,591), что соответствует таблице данных.

Ответ:...;...;...

Задача 57.

Вес изготовленного серебряного изделия должен составлять а=120 граммов.

При изготовлении возможны случайные погрешности, в результате которых вес изделия случаен, но подчинен нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением ?=5 граммов.

Требуется найти вероятность того, что:

1) Вес изделия составит от ?=100 до ?=150 граммов;

2) Величина погрешности в весе не превзойдет ?=10 граммов по абсолютной величине.

Решение:

1) воспользуемся формулой:

Тогда получаем

3) вероятность того, что абсолютная величина отклонения "X-a" окажется меньше ?=10, равна:

Ответ: а) 0,99997; б) 0,9544

Задача 63. По итогам выборочных обследований для некоторой категории сотрудников величина их дневного заработка X руб. и соответствующее количество сотрудников ni представлены в виде интервального статистического распределения.

1. Построить гистограмму относительных частот распределения.

2.Найти основные характеристики распределения выборочных данных: среднее выборочное значение, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение.

3. Оценить генеральные характеристики по найденным выборочным характеристикам.

4. Считая, что значение X в генеральной совокупности подчинены нормальному закону распределения, найти доверительный интервал для оценки математического ожидания (генерального среднего значения) с надежностью ?=0.92, считая, что генеральная дисперсия равна исправленной выборочной дисперсии.

xi 40-46 46-52 52-58 58-64 64-70

ni 5 10 20 15 10

Решение: Объем выборки:...

1) вычислим относительные частоты для каждого частичного интервала:

Контроль...

В итоге получено следующее интервальное распределение относительных частот признака Х:

xi 40-46 46-52 52-58 58-64 64-70

wi 0,083 0,167 0,333 0,25 0,167

Длина каждого частичного интервала равна 6. Следовательно, шаг разбиения....

Построим гистограмму относительных частот.

2) для нахождения характеристик выборки интервального распределения признака Х перейдем к дискретному, выбирая в качестве значений признака xi середины частичных интервалов:

xi 43 49 55 61 67

ni 5 10 20 15 10

средняя выборочная:

Средняя выборочная квадратов:

Выборочная дисперсия:

квадратическое отклонение

1) доверительный интервал для оценки средней найдем по формуле:

Где значение t определим по таблице

Тогда

(54.92; 58.08)

Ответ:...;...;...;...

Задача 74.

С целью анализа взаимного влияния прибыли предприятия и его издержек выборочно были проведены наблюдения за этими показателями в течении ряда месяцев: X - величина месячной прибыли в тыс. руб., Y - месячные издержки в процентах к объему продаж.

Результаты выборки сгруппированы и представлены в виде корреляционной таблицы, где указаны значения признаков X и Y и количество месяцев, за которые наблюдались соответствующие пары значений названных месяцев.

1) По данным корреляционной таблицы найти условные средние... и....

2) Оценить тесноту линейной связи между X и Y.

3) Составить уравнение линейной регрессии Y по X и X по Y.

4) Сделать чертеж, нанеся на него условные средние и найденные прямые регрессии.

5) Оценить силу связи между признаками с помощью корреляционного отношения.

25 35 45 55 65

15 4 4

20 2 6 8

25 4 6 2 12

30 5 8 4 17

35 2 6 7 15

40 4 4

=...

Решение:

Найдем условные средние... и...по формулам:

и...

;...

;...

;...

;...

;...

Для того, чтобы найти коэффициент корреляции составим вспомогательные таблицы:

25 6 150 3750 16,67 2500,5

35 10 350 12250 22 7700

45 13 585 26325 28,45 16643,25

55 16 880 48400 28,13 24754,4

65 15 975 63375 35 34125

60 2940 154100 85723,15

15 4 60 900 25 1500

20 8 160 3200 32,5 5200

25 12 300 7500 34,17 10251

30 17 510 15300 54,41 27749,1

35 15 525 18375 58,33 30623,25

40 4 160 6400 65 10400

60 1715 51675 85723,15

Найдем выборочные средние:

Найдем средние квадратические отклонения:

Найдем коэффициент корреляции:

Следовательно, связь между признаками X и Y является слабой и прямой.

Составим уравнение линии регрессии...по...:

Составим уравнение линии регрессии...по...:

Построим график линии регрессии и нанесем точки..., а также построим график линии регрессии и нанесем точки...:

Вычислим корреляционные отношения:

и...

Где межгрупповые дисперсии вычисляются по формулам:

Используя расчетную таблицу, находим:

вычисляем:

Тогда корреляционные отношения равны:

и...