Вариант 11. Даны координаты вершин пирамиды. Найти.) модули векторов ; ) угол между векторами. и ; ) угол между ребром

  • ID: 35247 
  • 10 страниц

Фрагмент работы:

Вариант 11. Даны координаты вершин пирамиды. Найти.) модули вектор…

Контрольная работа 1

Задача 17. Даны координаты вершин пирамиды.... Найти:

1) модули векторов...;

2) угол между векторами... и...;

3) угол между ребром... и гранью...;

4) площадь грани...;

5) объем пирамиды...;

6) уравнение прямой...;

7) уравнение плоскости...;

8) уравнение высоты, опущенной из вершины... на грань....

Решение:

1. Расстояние между двумя точками определяется формулой:....

Получим:...

2.......

Тогда:...

3. Для определения угла между ребром... и гранью..., определим уравнение грани... по формуле:.... Преобразуя, получим....

или уравнение грани... примет вид:....

Угол определим по формуле:..., подставляя значения, получим:....

4. Для вычисления площади грани... потребуются вектора... и....

Вычислим векторное произведение этих векторов:....

Тогда площади грани... равна:....

5. объем пирамиды... вычислим по формуле:...В итоге получим:....

6. Используя формулу, определим уравнение прямой...:

Подставляя данные, получим:....

7. Уравнение плоскости... уже было найдено в пункте 3 и имеет вид:

8. Уравнение высоты, опущенной из вершины... на грань...:

А4

h А2

А1

А3

Рис. 1.

Задание 37. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой одинаково удалена от точки... и прямой.... Выполнить чертеж.

Решение:

Обозначим через... произвольную точку, удовлетворяющую заданным условиям. Тогда кратчайшее расстояние от точки... до прямой... определится:....

Расстояние от точки... до точки...:....

По условию задачи....

Получим:....

Преобразуем:... - это уравнение параболы с центром в точке....

Чертёж:

Задача 57. Доказать совместность системы линейных уравнений и решить двумя способами: методом Гаусса и средствами матричного исчисления

Дано:...

Запишем систему алгебраических уравнений в матричной форме... и решим ее методом Гаусса и с помощью обратной матрицы....

где..........

1). Для того чтобы решись систему методом Гаусса, последовательно выполним преобразования, приводящие матрицу к треугольному виду:

1 1 -1 1 1 1 -1 1

8 3 -6 2 ? 0 5 -2 6 ?

4 1 -3 3 0 3 -1 1

1 1 -1 1 1 1 -1 1

? 0 5 -2 6 ? 0 5 -2 6

0 3 -1 1 0 0 -1 13

Видно, что ранг матрицы A равен рангу расширенной матрицы, а значит, система линейных алгебраических уравнений совместна.

Получим систему уравнений вида:

2) решим эту систему матричным методом. В этом случае решение находится по формуле:

X=A-1?B

Найдем главный определитель системы

1 1 -1

=...

4 1 -3

Т.к. определитель системы не равен 0, то система имеет единственное решение. Найдем его с помощью обратной матрицы. Найдем алгебраические дополнения:

=...

1 -3 1 -3 3 -6

=...

4 -3 4 -3 8 -6

=...

4 1 4 1 8 3

Ответ:....

Контрольная работа 2

Задача 117. Вычислить пределы функций.

Решение:

a)...

б)...

в)...

г)...

Задача 127. Задана функция и два значение аргумента.

1. Установить непрерывность или разрыв в данных точках.

2. В случае разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и справа.

3. Выполнить схематический чертеж.

Решение:

1)... непрерывна в... и имеет разрыв в...

2)... - предел слева

- предел справа

В точке...... имеет разрыв 2-го рода, т.к. один из пределов равен бесконечности.

3)...

4) Строим график:

Задача 147. Для функции..., вычислить производную....

Решение:

а)....

б)...

в)...

г)...

д)...

Продифференцируем обе части равенства:...

Получим выражение для производной...:....

Преобразуем:....

157. Найти... и...

1)...

2)...

Вычислим предварительно:

Тогда:

Задача 177. Найти наибольшее и наименьшее значение функции.......

Решение:

x (0;...)... (...;...)

- 0 +

y убывает... возрастает

В точке... максимум.

Значение функции на концах:......

Наибольшее значение функции:....

Наименьшее значение функции:....

Задача 197. Исследовать с помощью дифференциального исчисления функцию и построить ее график.

1. Область определения функции.

Так как..., то....

2. Четность и нечетность функции.

==> функция не обладает свойствами четности и нечетности.

3. Асимптоты.

Функция не определена в точке.... Исследуем характер разрыва:

Таким образом, точке...- разрыв 2-го рода.

а) Горизонтальные асимптоты:

в) наклонные

y=k?x+b

Наклонная асимптота....

4. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: полагаем x=0, тогда....

С осью OX: полагаем y=0, тогда... ==>....

5. Интервалы монотонности и точки экстремумов.

Найдем производную функции.

при.........: получим... и...- критические точки.

Составим таблицу для определения знака первой производной

x (-?;1) 1 (1;3) 3 (3;5) 5 (5; +?)

+ 0 - не сущ. - 0 +

y возрастает max

ymax=2 убывает Разрыв

2-го рода убывает min

ymin=10 возрастает

6. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную

:... - точек перегиба нет.

7. Дополнительная точка x=-1, тогда....

Построим график функции: