Контрольная работа 1, 2, шифр 58: задачи 8, 13, 21, 35, 49, 51, 61, 77

  • ID: 35204 
  • 12 страниц

Фрагмент работы:

Контрольная работа 1, 2, шифр 58: задачи 8, 13, 21, 35, 49, 51, 61…

Задача 8.

Для сигнализации на складе установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при необходимости первое устройство сработает, составляет р1=95%, для второго и третьего устройства эти вероятности равны соответственно р2=75% и р3=70%. Найти вероятность того, что в случае необходимости сработают:

1) все устройства;

2) только одно устройство;

3) хотя бы одно устройство.

Решение:

Рассмотрим события:

A - сработает первое устройство;

B - сработает второе устройство;

C - сработает третье устройство;.

Тогда

=...

=...

а) событие F - сработают все устройства

F = А?В?С

=...

б) событие F - сработает только одно устройство

=...

=...

=...

в) событие F - сработает хотя бы одно устройство

=...

Задача 13.

В партии, состоящей из n=30 одинаково упакованных изделий, смешаны изделия двух сортов, причем k=20 из этих изделий - первого сорта, а остальные изделия - второго сорта. Найти вероятность того, что взятые наугад два изделия окажутся:

1) одного сорта; 2) разных сортов.

Решение:

а) Количество способов выбора 2 изделий из 30 равно.... Количество благоприятных исходов равно:..., т.к. нужно взять или 2 изделия первого сорта, или 2 изделия второго сорта. Тогда по формуле классической вероятности получим

б) P(разных сортов)=1 - P(одного сорта)=1 -... =...

Задача 21.

Вероятность того, что новый товар будет пользоваться на рынке, если конкурент не выпустит аналогичный товар равна 0,75, а при наличии конкуренции товара она равна 0,35. Вероятность выпуска конкурирующего товара равна 0,45.

1) Какова вероятность того, что товар будет пользоваться спросом?

2) Товар пользуется спросом. Какова вероятность, что это произошло в условиях конкуренции?

Решение:

Обозначим через:

событие... - товар пользуется спросом

событие... - конкурент не выпустил аналогичный товар

событие... - конкурент выпустил аналогичный товар

По условию задачи имеем:

- вероятность того, что новый товар будет пользоваться на рынке, если конкурент не выпустит аналогичный товар

- вероятность того, что новый товар будет пользоваться на рынке, если конкурент выпустит аналогичный товар

1) Найдем вероятность того, что новый товар будет пользоваться спросом на рынке по формуле полной вероятности:

2) Товар пользуется спросом. Найдем вероятность, что это произошло в условиях конкуренции по формуле Байеса:

Ответ: 1) 0.57 ; 2) 0.2763

Задача 35.

Вероятность того, что в результате проверки изделию будет присвоен знак "изделие высшего качества" равна p=0,6.

1. На контроль поступило n=4 изделий. Какова вероятность того, что знак высшего качества будет присвоен:

а) ровно m=1 изделию;

б) более чем k=2 изделиям;

в) хотя бы одному изделию;

г) указать наивероятнейшее количество изделий, получивших знак высшего качества, и найти соответствующую ему вероятность.

При тех же условиях найти вероятность того, что в партии из N=32 изделий знак высшего качества получает:

а) ровно половина изделий;

б) не менее чем k1=10, но не более, чем k2=25 изделий.

Решение:

Значение n10, поэтому для расчетов воспользуемся локальной и интегральной формулами Лапласа:

а) половина изделий получат знак качества (ровно 16)

где..., а ?(x) - локальная функция Лапласа

По таблице находим, что ?(-1,15)=?(1,15)=0,2059, ==>...

б) от 10 до 25 изделий получат знак качества

Pn(k1;k2)?Ф(x2)-Ф(x1), где... и..., а Ф(x) - интегральная функция Лапласа

По таблице значений функции Ф(x) находим, что Ф(-3,32)=-0,4995, а Ф(2,09)=0,4817, ==>

=...

Задача 49.

В лотерее на каждые 100 билетов приходиться m1=4 билетов с выигрышем a1=8 тыс. рублей, m2=6 билетов с выигрышем a2=5 тыс. рублей, m3=12 билетов с выигрышем a3=4 тыс. рублей и m4=20 билетов с выигрышем a4=2. Остальные билеты из сотни не выигрывают.

Составить закон распределения величины выигрыша для владельца одного билета и найти его основные характеристики: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Пояснить смысл указанных характеристик.

Решение:

Случайная величина Х - дискретная величина. Составим закон распределения этой случайной величины, перечислив все е возможные значения и найдя соответствующие им вероятности. Число выигрышных билетов из 100 составляет: 4+6+12+20=42, значит, число невыигрышных билетов: 100 - 42 =58.

Располагая величины возможного выигрыша...в порядке возрастания, получим следующую таблицу:

0 2 4 5 8

0.58 0.2 0.12 0.06 0.04

Отметим, что...

а) Математическое ожидание случайной величины Х:

Ожидаемый средний выигрыш на один билет составляет 1,5 тыс.руб.

Дисперсию вычислим по формуле:

Среднее квадратическое отклонение равно:

тыс.руб. - характеристика разброса фактических значений выигрыша от найденного среднего значения..., то есть основные значения случайной величины выигрыша находятся в диапазоне (1,5...2,05).

Ответ:...;...;...

Задача 51.

Вес изготовленного серебряного изделия должен составлять а=50 граммов.

При изготовлении возможны случайные погрешности, в результате которых вес изделия случаен, но подчинен нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением ?=2 грамма.

Требуется найти вероятность того, что:

1) Вес изделия составит от ?=30 до ?=55 граммов;

2) Величина погрешности в весе не превзойдет ?=5 граммов по абсолютной величине.

Решение:

а) вероятность того, что нормально распределенная случайная величина попадет в интервал (?;?), определяется по формуле

где a и ? - математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины, а Ф(Х) - интегральная функция Лапласа.

Тогда вероятность того, что вес изделия составит от 30 до 55 граммов, равна:

По таблице значений функции Ф(Х) находим, что Ф(2,5)=0,4938, а Ф(10)=0,5, ==>

б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения "x-a" окажется меньше ?, равна

Тогда вероятность того, что величина погрешности в весе не превзойдет 5 граммов, равна:

Задача 61.

По итогам выборочных обследований для некоторой категории сотрудников величина их дневного заработка X руб. и соответствующее количество сотрудников ni представлены в виде интервального статистического распределения.

1) Построить гистограмму относительных частот распределения.

2) Найти основные характеристики распределения выборочных данных: среднее выборочное значение, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение.

3) Оценить генеральные характеристики по найденным выборочным характеристикам.

4) Считая, что значение X в генеральной совокупности подчинены нормальному закону распределения, найти доверительный интервал для оценки математического ожидания (генерального среднего значения) с надежностью ?=0.95, считая, что генеральная дисперсия равна исправленной выборочной дисперсии.

xi 50 - 60 60 - 70 70 - 80 80 - 90 90 - 100

ni 5 10 20 15 10

Решение:

Найдем объем выборки:...=5+10+20+15+10=60

Вычислим относительные частоты для каждого интервала:

=...

=...

=...

=...

=...

В результате получим следующее интервальное статистическое распределение относительны частот

xi 50 - 60 60 - 70 70 - 80 80 - 90 90 - 100

wi 0,083 0,167 0,333 0,250 0,167

Построим гистограмму относительных частот

Перейдем от интервального ряда к дискретному, заменив интервалы их средними значениями:

xi 55 65 75 85 95

ni 5 10 20 15 10

а) Выборочная средняя

Выборочная дисперсия

Второй способ:...

Найдем...:

Тогда DВ=6141,67-77,52=135,42

Выборочное среднее квадратическое отклонение...

Оценим неизвестные генеральные характеристики:

а) генеральная средняя:

б) генеральная дисперсия:

в) генеральное среднее квадратическое отклонение:

Доверительный интервал для оценки математического ожидания находится по формуле

где ? - среднее квадратическое отклонение, а t - коэффициент доверия, который находится из соотношения 2Ф(t)=?. Найдем t:

=...

По таблице значений функции Ф(t) определяем, что значению функции, равному 0,475, соответствует значение аргумента, равное t=1,96

Тогда доверительный интервал будет

(77,5-2,969;77,5+2,969)

(74,531;80,469)

Задача 77.

С целью анализа взаимного влияния прибыли предприятия и его издержек выборочно были проведены наблюдения за этими показателями в течении ряда месяцев: X - величина месячной прибыли в тыс. руб., Y - месячные издержки в процентах к объему продаж.

Результаты выборки сгруппированы и представлены в виде корреляционной таблицы, где указаны значения признаков X и Y и количество месяцев, за которые наблюдались соответствующие пары значений названных месяцев.

1) По данным корреляционной таблицы найти условные средние... и....

2) Оценить тесноту линейной связи между X и Y.

3) Составить уравнение линейной регрессии Y по X и X по Y.

4) Сделать чертеж, нанеся на него условные средние и найденные прямые регрессии.

5) Оценить силу связи между признаками с помощью корреляционного отношения.

20 30 40 50 60

5 2 2

10 4 3 7

15 7 5 12

20 2 7 5 14

25 3 2 6 11

30 3 3

=...

Решение:

Найдем условные средние... и...по формулам:... и...

;...

;...

;...

;...

;...

Для того, чтобы найти коэффициент корреляции составим вспомогательные таблицы:

20 6 120 2400 8,33 1000

30 10 300 9000 13,50 4050

40 10 400 16000 19,00 7600

50 9 450 22500 21,11 9500

60 14 840 50400 24,29 20400

49 2110 100300 42550

5 2 10 50 20,00 200

10 7 70 700 24,29 1700

15 12 180 2700 34,17 6150

20 14 280 5600 52,14 14600

25 11 275 6875 52,73 14500

30 3 90 2700 60,00 5400

49 905 18625 42550

Найдем выборочные средние:

Найдем средние квадратические отклонения:

Найдем коэффициент корреляции:

Следовательно, связь между признаками X и Y является высокой и прямой.

Составим уравнение линии регрессии...по...:

Составим уравнение линии регрессии...по...:

Построим графики линий регрессии и нанесем точки.........:

Вычислим корреляционные отношения:... и...

Где межгрупповые дисперсии вычисляются по формулам:

Составим расчетную таблицу:

531,8201 1063,64 102,7396 616,4376

352,5198 2467,638 24,69481 246,9481

79,11316 949,3579 0,281549 2,815494

82,47605 1154,665 6,978702 62,80832

93,43249 1027,757 33,82965 473,6152

286,9221 860,7663 1402,625

7523,825

Тогда......

вычисляем:......

Тогда корреляционные отношения равны:

и...

Список литературы