Вариант 9. Дана функция и точка

  • ID: 35178 
  • 7 страниц

Фрагмент работы:

Вариант 9. Дана функция и точка

Задание 1. Дана функция... и точка....

Найти: а) градиент данной функции в точке A;

б) производную данной функции в точке A по направлению вектора....

Решение:

а) Вычислим частные производные, используя формулу...:

Вычислим значения...... в точке...:

Вектор-градиент равен:....

б) Найдем направляющие косинусы вектора...:

Подставим все найденные значения в формулу для производной по направлению:

Ответ:...;....

Задание 2. Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнение в декартовых координатах (а > 0)

Решение:

Задана кривая вида:...

Построим график функции для...:

Воспользуемся формулой для вычисления площади ограниченной кривыми:

Перейдем к полярным координатам:

В итоге получим:

Получим:

Графиком функции является эллипс.....

Тогда.

Ответ:....

Задание 3. Вычислить объем тела ограниченного кривыми....

Решение:

- уравнение плоскости с образующей, параллельной оси Оy.

ВНИМАНИЕ!!! В условии опечатка так как в случае, если..., то полученная область является неограниченной, ввиду того, что кривая..., пересекает ось Ох в точках... при..., но уравнение плоскости... пересекает ось Ох в точке... при....

Считаем...- уравнение плоскости.

Фигура ограничена плоскостями... и....

Выполним чертеж фигуры:

В плоскости XY:

Задание 4. Исследовать на сходимость числовой ряд....

Решение:

Исследуем на сходимость ряд....

Применим интегральный признак:....

Интеграл расходится. Значит, ряд расходится.

Задание 5. Найти интервал сходимости степенного ряда.......

Решение:

Ищем радиус сходимости ряда, используя формулу Даламбера:..., в нашем случае....

Тогда....

При... - ряд сходится. Вычислим поведение ряда на концах интервала:

При...:... - ряд знакочередующийся.

Так как... и... то есть..., то по теореме Лейбница ряд сходится.

При...:....

Применим интегральный признак сходимости рядов:

- интеграл расходится, значит расходится и ряд.

Ответ: Ряд сходится при....

Задание 6. Вычислить приближенно определённый интеграл, используя разложение в степенной ряд. Результат получить с точностью до 0,001.

Решение:

Задан определенный интеграл:....

Решение:

Используем разложение:

Получим:...

Ответ:....

Задание 7. Разложить в ряд Фурье функцию... в интервале....

Решение:

Ряд Фурье для интервала... имеет вид:..., где

Вычислим:

Ответ:....

Задание 8. Найти общее решение дифференциального уравнения....

Решение: данное уравнение является однородным. Замена... или....

Подставим в исходное уравнение и получим уравнение вида:

или.......

Интегрируя обе части равенства, получим:....

Тогда....

Используя замену, получим:...

Общее решение примет вид:....

Задание 9. Найти общее решение... при начальных условиях

Решаем однородное уравнение:.... Составим характеристическое уравнение

- корень кратности 2. Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид:....

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:.........

Подставляем и получим:..., откуда....

Тогда.... Общее решение:... и....

Ищем решение, удовлетворяющее начальным условиям...:

Находим, что.......

Окончательно, получим:....