Вариант 9. Дана функция и точка

  • ID: 35178 
  • 7 страниц

Фрагмент работы:

Задание 1. Дана функция [image] и точка [image].

Найти: а) градиент данной функции в точке A;

б) производную данной функции в точке A по направлению вектора [image].

Решение:

) Вычислим частные производные, используя формулу [image]:

[image], [image].

Вычислим значения [image], [image] в точке [image]:

[image], [image].

Вектор-градиент равен: [image].

б)Найдем направляющие косинусы вектора [image]:

[image], [image], [image].

Подставим все найденные значения в формулу для производной по направлению:

[image] Ответ:[image]; [image].

Задание 2. Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнение в декартовых координатах (а > 0)

Решение:

Задана кривая вида: [image]

Построим график функции для [image]:

[image]

Воспользуемся формулой для вычисления площади ограниченной кривыми:

[image].

Перейдем к полярным координатам:

[image]

В итоге получим:

[image].

Получим:

[image][image]. Графиком функции является эллипс. [image].

Тогда.

[image]

[image]

[image].

Ответ: [image].

Задание 3. Вычислить объем тела ограниченного кривыми [image].

Решение:

[image]- уравнение плоскости с образующей, параллельной оси Оy.

ВНИМАНИЕ!!! В условии опечатка так как в случае, если [image], то полученная область является неограниченной, ввиду того, что кривая [image], пересекает ось Ох в точках [image] при [image], но уравнение плоскости [image] пересекает ось Ох в точке [image] при [image].

Считаем [image]- уравнение плоскости.

Фигура ограничена плоскостями [image] и [image].

Выполним чертеж фигуры:

[image]

В плоскости XY:

[image]

[image]

[image].

Задание 4. Исследовать на сходимость числовой ряд [image].

Решение:

Исследуем на сходимость ряд [image].

Применим интегральный признак: [image].

Интеграл расходится. Значит, ряд расходится.