Контрольная работа 5: вариант 9

  • ID: 34756 
  • 9 страниц

Фрагмент работы:

Контрольная работа 5: вариант 9

Контрольная работа №5

Вариант 9

№ 519. Вычислить объем тела..., ограниченного кривыми...

Решение:

Кривая... - уравнение параболической кривой в плоскости ХZ.

Кривая... - уравнение параболы, причем....

Кривая... - уравнение плоскости с образующей, параллельной оси ОZ.

Выполним чертеж в плоскости XYZ:

Из чертежа видно, что поверхность... - ограничивает сверху объемное тело. Таким образом, чтобы вычислить полученный объем, образованный в результате пересечения кривых... удобнее спроектировать на плоскость XY. В результате получим двумерную область интегрирования.

Воспользуемся формулой для вычисления объема заданной фигуры:

№ 529. Перейдя к полярным координатам, вычислить площадь фигуры D или массу пластины D с плотностью...

Решение:

Кривые... - окружности радиусов 2 и 5 с центром в точке....

Выполним чертеж:

Перейдем к полярным координатам:

В итоге получим:

Ответ:....

№ 539. Вычислить массу тела. Плотность тела задана функцией......

Решение:

Массу тела определим по формуле:

Область D показана на рисунке:

В итоге масса тела равна:....

№ 549. Вычислить криволинейный интеграл..., причем....

Решение:

В декартовой системе координат элемент кривой определяется по формуле:

Получим:

Ответ:....

№ 559. Вычислить работу... вдоль кривой..., причем....

Решение:

Выполним предварительные вычисления:.........

Вычислим работу:

Получим:....

№ 569. Вычислить интеграл, применяя формулу Грина.....

Решение:

Направление обхода - отрицательное. Рассматриваемая область - окружность с центром в точке... и радиусом r = 1.

Введем обозначение:....

Вычислим:....

Тогда:

Ответ:....

№ 579. Используя формулу Остроградского найти поток векторного поля... через внешнюю сторону поверхности...

Решение:

Воспользуемся формулой Остроградского:..., в нашем случае....

Получим:...

Для вычисления интеграла перейдем к цилиндрической системе координат:..., причем...

В итоге получим из геометрических соображений:

- уравнение конуса с вершиной.... Заметим, что объем конуса равен:..., причем.... Тогда....

Аналогично... - шар с центром в точке... и радиуса.... Заметим, что объем шара равен:....

Окончательно, получим:

Ответ:....

Контрольная работа №6

№ 619. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд....

Решение:

Исследуем ряд на абсолютную сходимость...

Применим интегральный признак сходимости рядов. Рассмотрим функцию....

Интеграл расходится. Значит, расходится и ряд.... Абсолютной сходимости ряда нет. Для знакопеременного ряда применим признак Лейбница:

Кроме того..., так как..., начиная с n = 2. Ряд сходится.

Ответ: ряд сходится условно.

№ 629. Найти область сходимости....

Решение:

Ищем радиус сходимости ряда, используя формулу Даламбера:..., в нашем случае....

Тогда....

Если..., то ряд сходится. Вычислим поведение ряда на концах интервала:

Если...:..., то ряд является знакопеременный, применим признак Лейбница:

Кроме того..., так как.... Значит ряд сходится.

Если...:..., то применим интегральный признак сходимости рядов.

Рассмотрим функцию....

Интеграл расходится, значит расходится и ряд.

Ответ: Ряд сходится при...

№ 639. Вычислить... с точностью до 0,001.

Решение:

Используем разложение:

Получим:...

Ответ:....

№ 649. При начальных условиях найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд функции..., являющейся решением заданного дифференциального уравнения....

Решение:

Ищем решение в виде разложения в степенной ряд функции...:

Найдем три первых, отличных от нуля члена степенного ряда:

Тогда три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд, будут иметь вид:

№ 659. Разложить в ряд Фурье функцию... в интервале....

Решение:

Ряд Фурье для интервала... имеет вид:..., где

Вычислим:

Ответ:....