Контрольная работа 5: вариант 9

  • ID: 34756 
  • 9 страниц
230 рубСкачать

34756.doc

Фрагмент работы:

Контрольная работа №5

Вариант 9

№ 519. Вычислить объем тела [image], ограниченного кривыми [image]

Решение:

Кривая [image] - уравнение параболической кривой в плоскости ХZ.

Кривая [image] - уравнение параболы, причем [image].

Кривая [image] - уравнение плоскости с образующей, параллельной оси ОZ.

Выполним чертеж в плоскости XYZ:

[image]

Из чертежа видно, что поверхность [image] - ограничивает сверху объемное тело. Таким образом, чтобы вычислить полученный объем, образованный в результате пересечения кривых [image] удобнее спроектировать на плоскость XY. В результате получим двумерную область интегрирования.

[image]

Воспользуемся формулой для вычисления объема заданной фигуры:

[image]

[image]

[image].

№ 529. Перейдя к полярным координатам, вычислить площадь фигуры D или массу пластины D с плотностью [image]

[image]

Решение:

Кривые [image] - окружности радиусов 2 и 5 с центром в точке [image].

Выполним чертеж:

[image]

Перейдем к полярным координатам:

[image]

В итоге получим:

[image]

[image].

Ответ: [image].

№ 539. Вычислить массу тела. Плотность тела задана функцией [image] [image]

Решение:

Массу тела определим по формуле:

[image][image]

[image]

Область D показана на рисунке:

[image]

В итоге масса тела равна: [image].

№ 549. Вычислить криволинейный интеграл [image], причем [image].

Решение:

В декартовой системе координат элемент кривой определяется по формуле:

[image]

Получим:

[image]

Ответ: [image].

№ 559. Вычислить работу [image] вдоль кривой [image], причем [image].

Решение:

Выполним предварительные вычисления: [image], [image], [image]

Вычислим работу:

[image]

Получим: [image].

№ 569. Вычислить интеграл, применяя формулу Грина. [image].

Решение:

Направление обхода - отрицательное. Рассматриваемая область – окружность с центром в точке [image] и радиусом r = 1.

Введем обозначение: [image].

Вычислим: [image].

Тогда:

[image]