Контрольная работа 5: вариант 7

  • ID: 34755 
  • 9 страниц

Фрагмент работы:

Контрольная работа №5

Вариант 7

№ 517. Вычислить объем тела [image], ограниченного данными поверхностями [image]

Решение:

Кривая [image] - уравнение плоскости, причем проекцией на плоскость XY является [image].

Кривая [image] - уравнение параболы, причем [image] в плоскости XY.

Кривая [image] - уравнение параболы, причем [image] в плоскости XY.

Выполним чертеж:

[image]

Воспользуемся формулой для вычисления объема заданной фигуры:

Точки пересечения кривых в плоскости XY: [image], [image]

Воспользуемся формулой для вычисления объема заданной фигуры:

[image][image].

№ 527. Перейдя к полярным координатам, вычислить площадь фигуры D или массу пластины D с плотностью [image]

[image]

Решение:

Кривые [image] - окружности радиусов 1 и 3 с центром в точке [image].

Выполним чертеж:

[image]

Перейдем к полярным координатам:

[image]

В итоге получим:

[image]

[image].

Ответ: [image].

№ 537. Вычислить массу тела. Плотность тела задана функцией [image] [image]

Решение:

Массу тела определим по формуле:

[image][image]

[image]

Область D показана на рисунке:

[image]

В итоге масса тела равна: [image].

№ 547. Вычислить криволинейный интеграл [image], причем [image] от точки [image] до [image].

Решение:

В декартовой системе координат элемент кривой определяется по формуле:

[image]

Получим:

[image]

Ответ: [image].

№ 557. Вычислить работу [image] вдоль кривой [image], причем [image].

Решение:

Выполним предварительные вычисления: [image], [image], [image]

Вычислим работу:

[image]

[image][image][image]

Получим: [image].

№ 567. Вычислить интеграл, применяя формулу Грина. [image]. Направление обхода - отрицательное.

Решение:

Рассматриваемая область – окружность с центром в точке [image] и радиусом r = 1.

Введем обозначение: [image].

Вычислим: [image].

Тогда:

[image]

[image]

[image]