Контрольная работа 5: вариант 7

  • ID: 34755 
  • 9 страниц

Фрагмент работы:

Контрольная работа 5: вариант 7

Контрольная работа №5

Вариант 7

№ 517. Вычислить объем тела..., ограниченного данными поверхностями...

Решение:

Кривая... - уравнение плоскости, причем проекцией на плоскость XY является....

Кривая... - уравнение параболы, причем... в плоскости XY.

Кривая... - уравнение параболы, причем... в плоскости XY.

Выполним чертеж:

Воспользуемся формулой для вычисления объема заданной фигуры:

Точки пересечения кривых в плоскости XY:......

Воспользуемся формулой для вычисления объема заданной фигуры:

№ 527. Перейдя к полярным координатам, вычислить площадь фигуры D или массу пластины D с плотностью...

Решение:

Кривые... - окружности радиусов 1 и 3 с центром в точке....

Выполним чертеж:

Перейдем к полярным координатам:

В итоге получим:

Ответ:....

№ 537. Вычислить массу тела. Плотность тела задана функцией......

Решение:

Массу тела определим по формуле:

Область D показана на рисунке:

В итоге масса тела равна:....

№ 547. Вычислить криволинейный интеграл..., причем... от точки... до....

Решение:

В декартовой системе координат элемент кривой определяется по формуле:

Получим:

Ответ:....

№ 557. Вычислить работу... вдоль кривой..., причем....

Решение:

Выполним предварительные вычисления:.........

Вычислим работу:

Получим:....

№ 567. Вычислить интеграл, применяя формулу Грина..... Направление обхода - отрицательное.

Решение:

Рассматриваемая область - окружность с центром в точке... и радиусом r = 1.

Введем обозначение:....

Вычислим:....

Тогда:

Ответ:... так как направление обхода - отрицательное.

№ 577. Используя формулу Остроградского найти поток векторного поля... через внешнюю сторону поверхности...

Решение:

Воспользуемся формулой Остроградского:..., в нашем случае....

Получим:...

Для вычисления интеграла перейдем к цилиндрической системе координат:..., причем...

В итоге получим из геометрических соображений:

- уравнение конуса с вершиной....

Выполним чертеж:

Окончательно, получим:

Ответ:....

Контрольная работа №6

№ 617. Исследовать на сходимость числовой ряд....

Решение:

Все члены этого ряда положительны и монотонно убывающие, поэтому к нему можно применить интегральный признак сходимости рядов:

Интеграл расходится, значит расходится исходный ряд.

№ 627. Найти интервал сходимости степенного ряда.......

Решение:

Ищем радиус сходимости ряда, используя формулу Даламбера:..., в нашем случае....

Тогда....

При... - ряд сходится. Вычислим поведение ряда на концах интервала:

При...:...- расходится как ряд Дирихле с показателем....

Ряд сходится в точке....

При...:... - ряд знакочередующийся. Так как... и..., значит по теореме Лейбница ряд сходится в точке....

Ряд сходится при....

№ 637. Вычислить... с точностью до 0,001.

Решение:

Задан определенный интеграл:....

Вычислить приближенно определённый интеграл, используя разложение в степенной ряд, а затем проинтегрируем каждый член разложения.

Воспользуемся разложением:...

Тогда:...

Вычислим определенный интеграл:

№ 647. При начальных условиях найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд функции..., являющейся решением заданного дифференциального уравнения....

Решение:

Ищем решение в виде разложения в степенной ряд функции...:

Найдем три первых, отличных от нуля члена степенного ряда:

Тогда три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд, будут иметь вид:

Ответ:...

№ 657. Разложить данную функцию... в ряд Фурье в интервале....

Решение:

Ряд Фурье для интервала... имеет вид:..., где

В нашем случае интервале... и.......

Вычислим:

Ответ:....