Задачи. Докажите, что векторы a, b, с образуют базис

  • ID: 34746 
  • 4 страницы

Фрагмент работы:

Задачи. Докажите, что векторы a, b, с образуют базис

Задание 1. Докажите, что векторы... образуют базис и найдите координаты вектора... в этом базисе:....

Решение:

Вычислим определитель матрицы, построенной на векторах...:

1 3 4

=...

3 1 -1

Определитель отличен от нуля. Значит, вектора... образуют базис.

Разложим вектор...:....

Воспользуемся метод Гаусса:

1 3 4 2 1 3 4 2

2 2 -1 -6 ? 0 4 9 10 ?

3 1 -1 -9 0 8 13 15

1 3 4 2 1 3 4 2

? 0 4 9 10 ? 0 4 9 10

0 8 13 15 0 0 20 20

Ответ:.......

Задание 2. Найти угол между векторами... и....

Дано:..........

Решение:

Угол между векторами определим по формуле:

Значит....

Задание 3. Даны координаты вершин пирамиды:............ средствами векторной алгебры найти:

1) угол между векторами... и...;

2) площадь грани...;

3) проекцию вектора... на вектор...;

4) объем пирамиды...;

Решение:

1.......

Тогда:...

2. Для вычисления площади грани... потребуются вектора... и....

Вычислим векторное произведение этих векторов:....

Тогда площади грани... равна:....

3. Проекцию вектора... на вектор... определим по формуле:

4. объем пирамиды... вычислим по формуле:....

В итоге получим:....

Задание 4. На прямой, заданной уравнением..., найти точку, равноудаленную от двух заданных точек... и....

Решение:

Обозначим через... произвольную точку, удовлетворяющую прямой....

Точка... будет равноудалена от точек... и..., если длины отрезков MA и MB равны.

Расстояние от точки... до точки... равно:.... Расстояние от точки... до точки... равно:....

По условию задачи.... Получим:....

Преобразуем:... - уравнение прямой, на которой лежит точка..., удовлетворяющая условию задачи.

Так как точка... принадлежит прямым... и..., то координаты точки... найдем из решения системы:

Задание 5. Написать уравнение прямой, проходящей через точку... и перпендикулярной двум прямым... и....

Решение:

Вектор... является направляющим вектором к прямой....

Вектор... является направляющим вектором к прямой....

Вектор... является направляющим вектором к искомой прямой и вектором нормали для данных прямых.

Тогда уравнение искомой прямой, проходящей через точку..., примет вид:

Задание 6. Через точку... провести плоскость, параллельную плоскости....

Решение:

Уравнение параллельной плоскости, проходящей через точку..., имеет вид: