Задачи. Докажите, что векторы a, b, с образуют базис

  • ID: 34746 
  • 4 страницы

Фрагмент работы:

Задание 1. Докажите, что векторы [image] образуют базис и найдите координаты вектора [image] в этом базисе: [image].

Решение:

Вычислим определитель матрицы, построенной на векторах [image]:

Определитель отличен от нуля. Значит, вектора [image] образуют базис.

Разложим вектор [image]: [image].

Воспользуемся метод Гаусса:

[image], [image], [image]

Ответ: [image], [image].

Задание 2. Найти угол между векторами [image] и [image].

Дано: [image], [image], [image].

Решение:

Угол между векторами определим по формуле:

[image]

[image][image].

Значит, [image].

Задание 3. Даны координаты вершин пирамиды: [image], [image], [image], [image] средствами векторной алгебры найти:

1) угол между векторами [image] и [image];

2) площадь грани [image];

3) проекцию вектора [image] на вектор [image];

4) объем пирамиды [image];

Решение:

1. [image], [image],

[image], [image].

Тогда: [image],

[image].

2. Для вычисления площади грани [image] потребуются вектора [image] и [image].

Вычислим векторное произведение этих векторов: [image].

[image].

Тогда площади грани [image] равна: [image].

3. Проекцию вектора [image] на вектор [image] определим по формуле:

[image].

4. объем пирамиды [image] вычислим по формуле: [image].

В итоге получим: [image].

Задание 4. На прямой, заданной уравнением [image], найти точку, равноудаленную от двух заданных точек [image] и [image].

Решение:

Обозначим через [image] произвольную точку, удовлетворяющую прямой [image].

Точка [image] будет равноудалена от точек [image] и [image], если длины отрезков MA и MB равны.

Расстояние от точки [image] до точки [image] равно: [image]. Расстояние от точки [image] до точки [image] равно:[image].

По условию задачи [image]. Получим: [image].