Контрольная работа 1, 2: вариант 5

  • ID: 34433 
  • 6 страниц

Фрагмент работы:

Контрольная работа 1, 2: вариант 5

Задача 15. Даны координаты вершин пирамиды.... Найти:

1) длину ребра...;

2) угол между ребрами... и...;

3) уравнение плоскости...;

4) площадь грани...;

5) объем пирамиды...;

6) уравнение прямой...;

Решение:

1. Расстояние между двумя точками определяется формулой:....

Получим:...

2.......

Тогда:...

3. Для определения угла между ребром... и гранью..., определим уравнение грани... по формуле:....

Тогда получим:.... Преобразуя, получим....

или уравнение грани... примет вид:

4. Для вычисления площади грани... потребуются вектора... и....

Вычислим векторное произведение этих векторов:....

Тогда площади грани... равна:....

5. объем пирамиды... вычислим по формуле:....

В итоге получим:....

6. Используя формулу, определим уравнение прямой...:

Подставляя данные, получим:....

А4

h А2

А1

А3

Рис. 1.

Задание 25. Доказать совместность системы линейных уравнений и решить двумя способами: методом Гаусса и средствами матричного исчисления

Дано:...

Запишем систему алгебраических уравнений в матричной форме... и решим ее методом Гаусса и с помощью обратной матрицы....

где..........

1). Для того чтобы решись систему методом Гаусса, последовательно выполним преобразования, приводящие матрицу к треугольному виду:

2 -1 -1 4 2 -1 -1 4

3 4 -2 11 ? 3 4 -2 11 ?

3 -2 4 11 3 -2 4 11

2 -1 -1 4 2 -1 -1 4

? 0 -11 1 -10 ? 0 -11 1 -10

0 1 -11 -10 0 0 -120 -120

Видно, что ранг матрицы A равен рангу расширенной матрицы, а значит, система линейных алгебраических уравнений совместна.

Получим систему уравнений вида:

2) решим эту систему матричным методом. В этом случае решение находится по формуле:

X=A-1?B

Найдем главный определитель системы

2 -1 -1

=...

3 -2 4

Т.к. определитель системы не равен 0, то система имеет единственное решение. Найдем его с помощью обратной матрицы. Найдем алгебраические дополнения:

=...

-2 4 -2 4 4 -2

=...

3 4 3 4 3 -2

=...

3 -2 3 -2 3 4

Решим эту систему по формулам Крамера

Найдем главный определитель системы

2 -1 -1

=...

3 -2 4

Т.к. определитель системы не равен 0, то система имеет единственное решение. Найдем его по правилу Крамера

4 -1 -1

=...

11 -2 4

2 4 -1

=...

3 11 4

2 -1 4

=...

3 -2 11

Ответ:....

Задача 35. Вычислить пределы функций.

Решение:

a)...

б)...

в)...

г)...

Задача 45. Задана функция.... Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.

Функция... определена при... и непрерывна на интервалах...... и..., так как задана на них основными элементарными функциями.

Исследуем функцию... на непрерывность в точках... и..., где происходит смена аналитических выражений функции. Найдем в этих точках односторонние пределы функции.

При...:.......

Так как односторонние пределы существуют и равны, то в точке... функция непрерывна.

При...:.......

Так как предел слева и справа неравны, то в точке... разрыв первого рода.

Строим график функции

При... строим график линейной функции..., а при... - график параболической функции..., при... график функции - прямая.

Ответ: Функция... непрерывна во всех точках, кроме точки..., где имеется разрыв первого рода.

Задача 55. Для функции..., вычислить производную....

Решение:

а)....

б)...

в)...

г)...

Продифференцируем обе части равенства:...

Получим выражение для производной...:....

65. Найти... и...

1)...

2)...

Вычислим предварительно:

Тогда: