Контрольная работа 1, 2: вариант 5

  • ID: 34433 
  • 6 страниц

Фрагмент работы:

Задача 15. Даны координаты вершин пирамиды [image]. Найти:

1) длину ребра [image];

2) угол между ребрами [image] и [image];

3) уравнение плоскости [image];

4) площадь грани [image];

5) объем пирамиды [image];

6) уравнение прямой [image];

[image], [image], [image], [image]

Решение:

1. Расстояние между двумя точками определяется формулой: [image].

Получим: [image]

2. [image], [image],

[image], [image].

Тогда: [image],

[image].

3. Для определения угла между ребром [image] и гранью [image], определим уравнение грани [image] по формуле: [image].

Тогда получим: [image]. Преобразуя, получим [image].

[image] или уравнение грани [image] примет вид:

[image]

4. Для вычисления площади грани [image] потребуются вектора [image] и [image].

Вычислим векторное произведение этих векторов: [image].

[image].

Тогда площади грани [image] равна: [image].

5. объем пирамиды [image] вычислим по формуле: [image].

В итоге получим: [image].

6. Используя формулу, определим уравнение прямой [image]:

[image] . Подставляя данные, получим: [image].

А4

h А2

А1

А3

Рис. 1.

Задание 25. Доказать совместность системы линейных уравнений и решить двумя способами: методом Гаусса и средствами матричного исчисления

Дано: [image]

Запишем систему алгебраических уравнений в матричной форме [image] и решим ее методом Гаусса и с помощью обратной матрицы [image].

[image], где [image], [image], [image].

1). Для того чтобы решись систему методом Гаусса, последовательно выполним преобразования, приводящие матрицу к треугольному виду:

Видно, что ранг матрицы A равен рангу расширенной матрицы, а значит, система линейных алгебраических уравнений совместна.

Получим систему уравнений вида:

[image]

2) решим эту систему матричным методом. В этом случае решение находится по формуле: