Вариант 14. Найти и построить область определения сложной функций

  • ID: 34350 
  • 6 страниц

Фрагмент работы:

Вариант 14. Найти и построить область определения сложной функций

Вариант 14

Задание 1. Найти и построить область определения сложной функций....

Решение:

Данные функции имеют действительные значения, если выполняются одновременно неравенства для функций... и...:

гипербола с центром в точке... и полуосями....

Задание 2. Вычислить производные сложной функции..., при....

Решение:

Функция z - сложная функция, так как....

Тогда

Задание 3. Для неявно заданной функции записать многочлен Тейлора 2 порядка по степеням....

Решение:

Задана неявная функция....

Формула Тейлора:

Окончательно

Задание 4.

Задана функция...

Преобразуем уравнение поверхности:

Это уравнение эллипсоида с центром в точке... и полуосями....

Уравнение касательной плоскости имеет вид:

1. Найдем частные производные:

Тогда градиент функции u в точке... равен:

Подставим все найденные значения в формулу для производной по направлению:

Задание 5. Найти угол между градиентами функций.

Найдем частные производные функций:

Тогда градиент функции v в точке... равен:

Аналогично

Найдем частные производные функций:

Тогда угол точке... равен:

Задание 6. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности... в точке....

Решение:

Уравнение касательной плоскости в точке... к поверхности... имеет вид:

Найдем частные производные:

Тогда градиент функции z в точке... равен:

Окончательно уравнением касательной плоскости примет вид:

Уравнение нормали имеет вид:

Задание 7(a). Используя метод неопределенных множителей Лагранжа, исследовать заданную функцию на условный экстремум при условии....

Решение:

Заданы функции.... Задачу нельзя решить, так как не заказа исходная функция.

Составим функцию Лагранжа:....

Задание 7. Найти наибольшее и наименьшее значение функции... в области D, заданной неравенствами....

Решение:

в области D:...

Построим исследуемую область:

Ищем критические точки внутри области:

Решением системы уравнений является точка....

Исследуем поведение на границе:

1. При............. Точка уже рассмотрена.

2. При......

Получим точки.......

4. В граничных точках:

Определим характер критической точки....

Проверим достаточные условия:

значит в точке... функция имеет в точке минимум.

Сравнивая значения..., получим, что

Наибольшее значение....

Наименьшее значение....