Вариант 14. Найти и построить область определения сложной функций

  • ID: 34350 
  • 6 страниц

Фрагмент работы:

Вариант 14

Задание 1. Найти и построить область определения сложной функций [image].

Решение:

Данные функции имеют действительные значения, если выполняются одновременно неравенства для функций [image] и [image]:

[image] гипербола с центром в точке [image] и полуосями [image].

[image]

Задание 2. Вычислить производные сложной функции [image], при [image].

Решение:

Функция z – сложная функция, так как [image].

[image]

[image]Тогда

[image], [image].

Задание 3. Для неявно заданной функции записать многочлен Тейлора 2 порядка по степеням [image].

Решение:

Задана неявная функция [image].

Формула Тейлора:

[image][image].

[image]

[image].

[image]

[image],

[image],

[image],

[image],

[image],

[image].

[image].

Окончательно,

[image]

Задание 4.

Задана функция [image]

Преобразуем уравнение поверхности:

[image]

Это уравнение эллипсоида с центром в точке [image] и полуосями [image].

Уравнение касательной плоскости имеет вид:

[image].

1. Найдем частные производные:

[image], [image],

[image].

Тогда градиент функции u в точке [image] равен:

[image].

Подставим все найденные значения в формулу для производной по направлению:

[image].

Задание 5. Найти угол между градиентами функций.

[image].

Найдем частные производные функций:

[image],

[image],

[image].

Тогда градиент функции v в точке [image] равен:

[image].

Аналогично,

Найдем частные производные функций:

[image],

[image],

[image].

Тогда угол точке [image] равен:

[image][image]

Задание 6. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности [image] в точке [image].

Решение:

Уравнение касательной плоскости в точке [image] к поверхности [image] имеет вид:

[image]