Определим дифференциал дуги в декартовых координатах

  • ID: 34330 
  • 8 страниц

Фрагмент работы:

№1.

==>...

Определим дифференциал дуги в декартовых координатах:

Переменная x меняется в пределах 0?x?2

Тогда

№2.

==>.... Т.к. дуга верхняя, то....

Тогда:

№3.

- семейство окружностей с центром в точке (-1;0) и радиусом C+2.

Т.к...., то.... При C=-2 окружность вырождается в точку (-1;0) - центр семейства окружностей.

Построим график линий уровня при С=-1; 0; 1. Соответственно, получим следующие линии уровня:

С=-1:...

С=0:...

С=1:...

Найдем градиент поля в точке (x0,y0):

Построим его на том же графике.

№4.

Применим для вычисления потока формулу Остроградского-Гаусса:

z=18-x2-y2 - уравнение параболоида вращения, ось OZ - ось симметрии

z=x2+y2 - уравнение параболоида вращения, ось OZ - ось симметрии

Найдем проекцию линии пересечения параболоидов:

=...

2x2+2y2=18

x2+y2=9 - окружность с центром в точке (0;0) и радиусом 3

Перейдем к цилиндрическим координатам:

=...

Тогда:

==>..., ==>...

==>...

==>...

Определим пределы интегрирования:

Найдем поток:

№5.

а) Запишем уравнение отрезка AD:

В параметрической форме:

Тогда:

б) Найдем циркуляцию с помощью формулы Стокса:

Т.к. нормаль к плоскости АВС образует острые углы с координатными осями, то cos ?>0, cos ?>0 и cos ?>0.

Проекцией пирамиды на плоскости yOz и xOy будут треугольники (рис.):

Определим пределы интегрирования

Для первого интеграла

0?y?2 0?z?...

Для второго интеграла

0?x?3 0?y?...

Поэтому интеграл будет равен:

№6.

а)...

Пусть......

Воспользуемся формулой Муавра

==>

б)...

Для вычисления... воспользуемся формулой:

Тогда

№7.

Проверим условие:

Тогда

==> функция u(x,y) может быть действительной частью аналитической функции.

Из условий... и... находим:

(1)

(2)

Интегрируем первое уравнение по y:

Продифференцируем полученное выражение по x и подставим во второе уравнение:

==>

Построим аналитическую функцию:

Определим постоянную С из условия f(i)=1:

Тогда

№8.

Параметрические уравнения отрезка прямой, соединяющей точки z1 и z2, будут x=4t, y=2t, а в комплексной форме z=x+iy=(4+2i)t, где параметр t изменяется от 0 до 1.

Воспользовавшись формулой..., получим:

№9.

Разложим функцию на простые слагаемые:

Разложим первую дробь:

Разложим вторую дробь:

Окончательно получим, что

В этом случае

Тогда

№10.

Для вычисления интеграла воспользуемся теоремой Коши о вычетах:

Для подынтегральной функции... точка... является полюсом второго порядка. Точка... лежит внутри окружности....

Найдем вычет в этой точке по формуле для вычета в полюсе a порядка m:

Тогда

№11.

Разложим знаменатель на множители. Пусть..., тогда

Тогда

Рассмотрим функцию.... Нули знаменателя функции... лежат вне вещественной оси, причем в верхней полуплоскости лежит два нуля:... и... - полюса 1-го порядка.

Поэтому