Вариант 8. Дан треугольник. Найти: длину стороны; внутренний угол с точностью до градуса; уравнение и длину высоты

Фрагмент работы:

ВАРИАНТ №8

Задание 1

Дан треугольник ABC, где.......... Найти:

1. длину стороны AB;

2. внутренний угол A с точностью до градуса;

3. уравнение и длину высоты, опущенной из вершины C;

4. точку пересечения высот;

5. уравнение медианы, проведенной через вершину C;

6. систему линейных неравенств, определяющих треугольник ABC;

7. сделать чертеж.

Решение:

Выполним рисунок

…

1)длина стороны АВ:......- длина стороны АВ.

2) внутренний угол А с точностью градуса:

Для поиска угла воспользуемся формулой.... В данном случае k1=kАB, а k2=kАC - угловые коэффициенты прямых АВ и АС.

Найдем угловые коэффициенты по формуле:....

;...==>

==> А=arctg(3)?180°-72°=108° - внутренний угол А.

3) уравнение и длину высоты, опущенной из вершины С:

Составим уравнение высоты CD.

Высота CD перпендикулярна стороне AB. По условию перпендикулярности двух прямых

…

Составим уравнение высоты CD по известной точке и угловому коэффициенту:

=...

y+3=...(x-8) - Домножим на 4 обе части уравнения:

=...

3x-4y-36=0 - уравнение высоты (CD)

Найдем длину высоты CD по формуле для расстояния от точки до прямой:

…

Составим уравнение прямой AB по угловому коэффициенту и точке A, принадлежащей прямой:

y-yА=kАВ(x-xА)

y+4=-...(x-5) - Домножим на 3 обе части уравнения:

=...

4x+3y-8=0 - уравнение (AB)

(ед. дл.) - длина высоты (СD).

4) точку пересечения высот:

Точку пересечения двух прямых можно найти, решив систему уравнений, задающих эти прямые, поэтому нужно найти уравнение еще одной высоты, например, BK.

…

Составим уравнение высоты (BK) по известной точке и угловому коэффициенту:

=...

=...

y=-3x+6

3x+y-6=0 - уравнение (BK), тогда

Таким образом, высоты пересекаются в точке О(4;-6)

5) уравнение медианы, проведенной через вершину С:

Найдем координаты точки E как координаты середины отрезка АВ:

…

(.)Е: (7/2; -2)

Запишем уравнение медианы (CE) по 2 точкам:

…

x-8=-9/2*(y+3) - Домножим на 2 обе части уравнения:

=...

=...

2x+9y+11=0 - уравнение медианы (CE).

6. систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС:

Составим уравнение всех сторон треугольника:

Уравнение стороны АВ уже было составлено: 4x+3y-8=0

Составим уравнение прямой AС по угловому коэффициенту и точке A, принадлежащей прямой:

=...

y+4=...(x-5)

3y+12=x-5

x-3y-17=0 - уравнение (АС)

Найдем уравнение стороны (ВС) по 2 точкам:

…

-3(x-2)=6у

-3x+6-6y=0

x+2y-2=0 - уравнение (BС)

Для определения знаков неравенств в левую часть каждого уравнения подставим координаты противоположной вершины, которая гарантированно принадлежит соответствующей полуплоскости:

Подставим (.)С (8;-3) в уравнение (АВ)... 4x+3y-8=4*8+3*(-3)-8=15>0

Подставим (.)В (2;0) в уравнение (АС)... x-3y-17=2-3*0-17= -15 y= x+4 - наклонная асимптота.

6. Интервалы монотонности и точки экстремумов:

Найдем производную функции.

…

Видим, что производная...существует при любых значениях х==>

==> (х-1)3...0 ==>

Итак, имеется две критические точки: х1=-1, х2=0 и х2=4, которые делят область определения функции на интервалы монотонности:

(-?; -1) ? (-1;0) ? (0; 1) ? (1; 4) ? (4;+?)

Составим таблицу для определения знака производной:

x (-?; -1) -1 (-1;0) 0 (0; 1) 1 (1; 4) 4 (4;+?)

+ - + - +

y возрастает max

ymax=1/4 убывает min

ymin=0 возрастает Разрыв 2-ого рода убывает min

ymin=32/3 возрастает

Итак, точка минимума: О(0; 0) и А(4;36/3)

точка максимума В(-1; 1/4)

7. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную

…

=...

Итак, существует единственная точка, подозрительная на перегиб: х=-2/7, она делит область определения функции на интервалы:

(-?; -2/7) ? (-2/7;1) ? (1;+?)

Составим таблицу для определения знака второй производной:

x (-?;-2/7) -2/7 (-2/7;1) 1 (1; +?)

- + +

y выпукла перегиб

yпер=0,085 вогнута Разрыв 2ого рода вогнута

Итак, точка перегиба: С(-2/7; 0,085).

8. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: полагаем x=0, тогдау=... ==> (.)О(0; 0).

С осью OX: полагаем y=0, тогда

==>(.)О(0; 0) и (.)E(-2;0)

9. Дополнительные точки.

=...

=...

Построим график функции

…

Задание 5

Найти неопределенные интегралы.

Результаты проверить дифференцированием:

а)...; б)...; в)...; г)...

Решение:

а)...

Проверка:

…

б)......=...

Проверка:

…

в)...=......=

=...

Проверка:

…

г)...

Выделим целую часть:

_ x3+1 | x2+2х-15

x3+2х2-15х |x-2

_ -2x2+15х+1

-2x2-4х+30

19x-29

Тогда, интеграл примет вид:

…

Где...

Разложим дробь на простые слагаемые. Для этого сначала разложим знаменатель на множители

=0,D=64, тогда х1=-5, х2=3>... =(х+5)(х-3)

…

Здесь А и В - числа, которые нужно найти. Сделаем приведение к общему знаменателю в правой части:

Так как дроби тождественно равны и равны их знаменатели, то должны быть равны и их числители:

Подставим найденные числа в равенство:...-...

…

Тогда окончательно:

…

Проверка:

…

Задание 6

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций

и...

Решение:

По данным задачи:

=...

Для построения параболы и прямой найдем координаты вершин параболы, точки пересечения прямой и параболы и точки пересечения с осями координат.

f1(x)= 3х+4- прямая.

Для построения найдём три точки:

Х -2 0 2

У -2 4 10

Точка пересечения с осью Оу: х=0, тогда y=4; то есть точка (0;4).

Точка пересечения с осью Ох: у=0, тогда 3x+4=0>х=-4/3; то есть точка (-4/3;0).

f2(x)= 2x2+3x+2- парабола.

=...

тогда y(-3/4) = 2*(-3/4)2+3*(-3/4)+2=7/8= 0,875.

Итак, вершина параболы в точке (-3/4;7/8) >(-0,75;0,875).

Точки пересечения параболы с осью Ох: y=0, тогда

2x2+3x+2=0, откуда D=