Вариант 35: задачи 5, 16, 26, 35, 48, 53, 61, 76. Записать следующее утверждение в виде формул логики высказываний

  • ID: 03385 
  • 8 страниц

Фрагмент работы:

Задача 5.

Записать следующее утверждение в виде формул логики высказываний, построить таблицы истинности и определить общезначимость, выполнимость (невыполнимость) и число моделей полученных формул.

«Если вечером будет туман или снег, то Джон или останется дома, или должен будет взять такси»

Решение:

Обозначим все встретившиеся элементарные высказывания пропозициональными переменными:

х–вечером будет снег или туман

у– Джон останется дома

z– Джон возьмет такси

Тогда формула запишется в следующем виде:

Построим таблицу истинности для этой формулы:

Данная формула выполнима, так как имеет модели, и не общезначима, так как имеет интерпретации при которых она ложна. Формула имеет 7 моделей (1,2,3,4,6,7,8).

Задача 16.

Записать формально следующее рассуждение на языке логики высказываний и доказать его справедливость, используя метод резолюций.

Посылки: Джон или переутомился или он болен. Если он переутомился, то он раздражается. Он не раздражается.

Заключение: Джон болен.

Решение:

Введем символические обозначения элементарных высказываний:

х–Джон переутомился

у–Джон болен

z–Джон раздражается.

Каждую посылку задачи запишем в виде логической формулы:

1)

2)

3)

Запишем заключение логической формулой:

Запишем рассуждение задачи формально в виде логического следования:

Добавим отрицание заключения к множеству посылок:

Преобразуем все формулы в КНФ:

1)

2)

3)

4)

Получили следующее множество дизъюнктов: {, }

Применим метод резолюций. Сначала выпишем и пронумеруем дизъюнкты исходного множества:

1), 2), 3), 4)

Применим правило резолюций, используя стратегию предпочтения одночленам:

5) – (2,3)

6) – (5,1)

7) – (1,2)

Справедливость утверждения не доказана, так как не возможно получить пустой дизъюнкт.

Задача 26. Для опознания приглашено 7 человек.

а) сколько существует способов рассадить их в ряд?

б) какова вероятность, что они расположатся так, чтобы подозреваемый не был первым?

Решение:

а) число всевозможных способов равно число всевозможных перестановок, т.е.

б) вероятность найдем по формуле классической вероятности:

Задача 35.

Для сигнализации на складе установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при необходимости первое устройство сработает, составляет р1=75%, для второго и третьего устройства эти вероятности равны соответственно р2=80% и р3=95%. Найти вероятность того, что в случае необходимости сработают:

все устройства;

только одно устройство;

хотя бы одно устройство.

Решение:

1) обозначим через событие А – все устройства сработали. Тогда

2) обозначим через событие В – сработает только одно устройство.

3) обозначим через событие С – хотя бы одно устройство сработало, т.е. сработало одно или два или три устройства.

Противоположное событие – ни одно устройство не сработало.

Следовательно

Ответ:

Задача 48.

В партии, состоящей из n=55 одинаково упакованных изделий, смешаны изделия двух сортов, причем k=35 из этих изделий – первого сорта, а остальные изделия – второго сорта. Найти вероятность того, что взятые наугад два изделия окажутся: 1) одного сорта;

2) разных сортов.

Решение:

Обозначим через: событие – изделие первого сорта

событие – изделие второго сорта

1) событие А – изделия одного сорта

2) событие В – изделия разных сортов

Ответ:

Задача 53.

На строительство объекта поступают железобетонные плиты от четырех цементных заводов в количестве 50, 10, 40 и 30 штук соответственно. Каждый из заводов допускает при изготовлении плит брак, составляющий соответственно 1%, 5%, 2% и 3%.

1) Какова вероятность, что наугад взятая плита будет удовлетворять требованиям ГОСТа?

2) Наугад взятая плита удовлетворяет требованиям ГОСТа. Какова вероятность, что она произведена на четвертом заводе?

Решение:

Обозначим через:

событие – наугад взятая плита удовлетворяет требованиям ГОСТа

событие – плита изготовлена первым заводом

событие – плита изготовлена вторым заводом

событие – плита изготовлена третьим заводом

событие – плита изготовлена четвертым заводом

По условию задачи имеем

– вероятность того, что плита, изготовленная первым заводом, удовлетворяет ГОСТу

– вероятность того, что плита, изготовленная вторым заводом, удовлетворяет ГОСТу

– вероятность того, что плита, изготовленная третьим заводом, удовлетворяет ГОСТу

– вероятность того, что плита, изготовленная четвертым заводом, удовлетворяет ГОСТу

1) Найдем вероятность того, что наугад взятая плита, удовлетворяет ГОСТу, используя формулу полной вероятности:

2) Наугад взятая плита удовлетворяет требованиям ГОСТа. Найдем вероятность, что она произведена на четвертом заводе. Воспользуемся формулой Байеса:

Ответ:

Задача 61.

В лотерее на каждые 100 билетов приходиться m1=1 билетов с выигрышем a1=20 тыс. рублей, m2=2 билетов с выигрышем a2=10 тыс. рублей, m3=8 билетов с выигрышем a3=5 тыс. рублей и т.д. Остальные билеты из сотни не выигрывают.

Составить закон распределения величины выигрыша для владельца одного билета и найти его основные характеристики: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Пояснить смысл указанных характеристик.

Решение:

Случайная величина Х – дискретная величина. Составим закон распределения этой случайной величины, перечислив все е возможные значения и найдя соответствующие им вероятности. Число выигрышных билетов из 100 составляет: 1+2+8+10+15=36, значит, число невыигрышных билетов: 100 – 36 =64.

Располагая величины возможного выигрыша в порядке возрастания, получим следующую таблицу:

Отметим, что

а) Математическое ожидание случайной величины Х:

Ожидаемый средний выигрыш на один билет составляет 1,25 тыс.руб.

Дисперсию вычислим по формуле:

Среднее квадратическое отклонение равно:

тыс.руб. – характеристика разброса фактических значений выигрыша от найденного среднего значения, то есть основные значения случайной величины выигрыша находятся в диапазоне (1,251,92).

Ответ:

Задача 76.

По итогам выборочных обследований для некоторой категории сотрудников величина их дневного заработка X руб. и соответствующее количество сотрудников ni представлены в виде интервального статистического распределения.

Построить гистограмму относительных частот распределения.

Найти основные характеристики распределения выборочных данных: среднее выборочное значение, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение.

Оценить генеральные характеристики по найденным выборочным характеристикам.

Считая, что значение X в генеральной совокупности подчинены нормальному закону распределения, найти доверительный интервал для оценки математического ожидания (генерального среднего значения) с надежностью г=0.95, считая, что генеральная дисперсия равна исправленной выборочной дисперсии.

xi

50-60

60-70

70-80

80-90

90-100

ni

5

10

20

15

10

Решение:

Объем выборки:

вычислим относительные частоты для каждого частичного интервала:

Контроль

В итоге получено следующее интервальное распределение относительных частот признака Х:

xi

50-60

60-70

70-80

80-90

90-100

wi

0,083

0,167

0,333

0,25

0,167

Длина каждого частичного интервала равна 10. Следовательно, шаг разбиения.

Построим гистограмму относительных частот.

2) для нахождения характеристик выборки интервального распределения признака Х перейдем к дискретному, выбирая в качестве значений признака xi середины частичных интервалов:

xi

55

65

75

85

95

ni

5

10

20

15

10

средняя выборочная:

Средняя выборочная квадратов:

Выборочная дисперсия:

квадратическое отклонение

доверительный интервал для оценки средней найдем по формуле:

Где значение t определим по таблице

Тогда

(74.55; 80.45)

Ответ: