8 заданий. Заданы координаты вершин треугольника ABC: Найти: 1) длину стороны AB; 2) уравнение сторон AB и AC и их угловые коэффициенты

  • ID: 32916 
  • 7 страниц

Фрагмент работы:

8 заданий. Заданы координаты вершин треугольника ABC: Найти: 1) дл…

Задание 1. Заданы координаты вершин треугольника ABC:....

Найти: 1) длину стороны AB; 2) уравнение сторон AB и AC и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол A в радианах с точностью до двух знаков; 4) уравнение высоты CD и ее длину; 5) уравнение медианы AE.

Решение:

1. Расстояние между двумя точками определяется формулой:....

Получим:

2. Уравнение прямой проходящей через две точки:....

Уравнение прямой AB, примет вид:

- уравнение AB.

Уравнение прямой AC, примет вид:

- уравнение AС.

Соответственно угловые коэффициенты прямых равны:

3. Внутренний угол A определим по формуле:

Тогда...

4. Уравнение высоты СD и ее длину:

Так как..., то вектор... является нормальным вектором c прямой CD. Тогда получаем:....

Длину высоты CD определим как расстояние от точки C до прямой AB по формуле:

5. Уравнение медианы AE, определим по формуле.... Координаты точки E определим как координаты середины отрезка BC:

Окончательно, подставив, получим:

-уравнение AE.

Задание 2. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Найти ее решение: 1) методом Гаусса; 2) методом Крамера; 3) методом обратной матрицы.

Решение:

1. Для того чтобы решись систему методом Гаусса, последовательно выполним преобразования, приводящие матрицу к треугольному виду:

1 2 1 5 1 2 1 5

2 -3 3 1 ? 0 7 -1 9 ?

0 1 -5 -9 0 1 -5 -9

1 2 1 5 1 2 1 5

? 0 7 -1 9 ? 0 7 -1 9

0 1 -5 -9 0 0 34 72

Видно, что ранг матрицы A равен рангу расширенной матрицы, а значит, система линейных алгебраических уравнений совместна.

Получим систему уравнений вида:

2. решим эту систему по формулам Крамера

Найдем главный определитель системы

1 2 1

=...

0 1 -5

Т.к. определитель системы не равен 0, то система имеет единственное решение. Найдем его по правилу Крамера

5 2 1

=...

-9 1 -5

1 5 1

=...

0 -9 -5

1 2 5

=...

0 1 -9

3. Найти обратную матрицу. Проверить результат, вычислив произведение данной и полученной матрицы.

Дано...

Решение:

Найдем... и сделаем проверку. Найдем алгебраические дополнения:

1 2 1

=...

0 1 -5

=...

1 -5 1 -5 -3 3

=...

0 -5 0 -5 2 3

=...

0 1 0 1 2 -3

Проверка:

Задание 3.

Дана задача линейного программирования.

=...

Решение:

Решим задачу графическим методом. Для этого составим уравнения граничных прямых и построим их в одной системе координат.

I. 5x1+2x2=56

x1 0 10

x2 28 3

II. -2x1+3x2=6

x1 0 6

x2 2 6

III. -2x1+x2=0

x1 0 5

x2 0 10

Каждая из прямых делит плоскость на две полуплоскости. На основе знаков неравенств определяем, что область допустимых решений - это многоугольник OABC. Строим вектор...={3;1} и прямую 3x1+x2=0. Перемещаем прямую по направлению вектора.... Точкой выхода из области допустимых решений является точка B. Ее координаты определяются как пересечение 2 и 4 граничных прямых:

Т.е. точка B имеет координаты B(6;6). Найдем максимальное значение целевой функции:

=...

Задание 4. Определить вид линии, построить данную линию (на чертеже указать "старую" и "новую" системы координат).

Решение:

Перепишем уравнение... в виде:

или...

Проведем в скобках "дополнение до полного квадрата" и выполним очевидное преобразование:

Введем "новые" координаты.... Последнее уравнение в "новых " координатах примет вид:... - уравнение эллипса с центром в точке... и полуосями....

Задание 5. Найти производные... данных функций....

Решение:

а)....

б)...

в)...

г)...

Задание 6. Найти частные производные от функции....

Вычислим:

Задание 7. С помощью дифференциала найти приближенное значение....

Рассмотрим функцию....

Разложим данную функцию в ряд Тейлора:

В нашем случае....

Подставим, получим:

Задание 8. Вычислите неопределенные интегралы и результаты интегрирования проверить дифференцированием.

Решение:

а)....

Проверка:

б)....

Проверка:

в)....

Проверка: