Вариант 9. Определим дифференциал дуги в параметрических координатах:. p>№1. Определим дифференциал дуги в

  • ID: 32712 
  • 8 страниц

Фрагмент работы:

№1.

Определим дифференциал дуги в параметрических координатах:

Параметр t меняется в пределах 0?t?...

Тогда

№2.

Тогда:

№3.

- семейство парабол

Построим ее график при С=-1; 0; 1. Соответственно, получим следующие линии уровня:

С=-1:...

С=0:...

С=1:...

Найдем градиент поля в точке (x0,y0):

Построим его на том же графике.

№4.

Применим для вычисления потока формулу Остроградского-Гаусса:

z=8-x2-y2 - уравнение параболоида вращения, ось OZ - ось симметрии

Проекция параболоида на плоскость XOY - это круг...

Перейдем к цилиндрическим координатам:

=...

Тогда:

==>..., ==>...

==>...

Определим пределы интегрирования:

Найдем поток:

№5.

а) Запишем уравнение отрезка AD:

В параметрической форме:

=...

Тогда:

б) Найдем циркуляцию с помощью формулы Стокса:

=...

Т.к. нормаль к плоскости АВС образует острые углы с координатными осями, то cos ?>0, cos ?>0 и cos ?>0.

Проекцией пирамиды на плоскости xOz и yOz будут треугольники (рис.):

Определим пределы интегрирования

Для первого интеграла

0?y?3 0?z?...

Для второго интеграла

0?x?3 0?z?...

Поэтому интеграл будет равен:

№6.

а)...

Пусть......

Воспользуемся формулой Муавра

==>

б)...

Тогда

№7.

Проверим условие:

Тогда

==> функция v(x,y) может быть мнимой частью аналитической функции.

Из условий... и... находим:

(1)

(2)

Интегрируем первое уравнение по x:

Продифференцируем полученное выражение по y и подставим во второе уравнение:

==>

Построим аналитическую функцию:

Определим постоянную С из условия f(0)=1:

Тогда

№8.

Параметрические уравнения отрезка прямой, соединяющей точки z1 и z2, будут x=2t, y=2t, а в комплексной форме z=x+iy=(2+2i)t, где параметр t изменяется от 0 до 1.

Воспользовавшись формулой..., получим:

№9.

Разложим функцию на простые слагаемые:

При... получим

При... получим

Окончательно получим, что

В этом случае

Тогда

№10.

Для вычисления интеграла воспользуемся теоремой Коши о вычетах:

Для подынтегральной функции... точка... является полюсом второго порядка, а точка... - полюсом первого порядка. Внутри окружности... лежит точка....

Найдем вычет в этой точке по формуле для вычета в полюсе a порядка m:

№11.

Разложим знаменатель на множители. Пусть..., тогда

Тогда

Рассмотрим функцию.... Нули функции... лежат вне вещественной оси, причем в верхней полуплоскости лежит два нуля:... и... - полюса 1-го порядка.

Поэтому