21 задача. Находим определитель, составленный из координат векторов

  • ID: 31002 
  • 20 страниц

Фрагмент работы:

№3.

Находим определитель, составленный из координат векторов...:

Т.к...., то... - базис. Теперь найдем разложение вектора... по базису.... Следует найти числа... такие, что.... В развернутом виде это равенство является линейной системой алгебраических уравнений с неизвестными...:

По формулам Крамера находим:

№18.

Найдём:

а) уравнение прямой, содержащей опущенную из вершины... высоту:

Высота LN перпендикулярна стороне KM. По условию перпендикулярности двух прямых

Найдем угловой коэффициент прямой KM по формуле:....

тогда...

Составим уравнение высоты LN по известной точке и угловому коэффициенту:

=...

=...

y+5=-3x+12

3x+y-7=0 (высота LN)

б) длину высоты, опущенной из вершины...:

Найдем длину высоты LN по формуле для расстояния от точки до прямой:

Составим уравнение прямой KM:

=...

y+7=...(x+4)

3y+21=x+4

x-3y-17=0 (сторона KM)

Тогда...

в) точку..., симметричную точке..., относительно прямой, проходящей

через точки...:

Координаты точки E, симметричной точке L относительно прямой KM, можно найти, используя формулы для координат середины отрезка:

Отсюда

=...

Найдем координаты точки N как точки пересечения прямых KM и LN:

Тогда

=...

д) уравнение прямой, содержащей биссектрису угла...:

Найдем направляющий вектор биссектрисы как сумма ортов векторов... и.... Определим координаты соответствующих векторов:

={8;2}

=...

Определим орты векторов.

:...

:...

Тогда направляющий вектор биссектрисы равен:

Составим уравнение биссектрисы по направляющему вектору и точке, принадлежащей прямой:

-уравнение прямой, содержащей биссектрису угла...

№22.

За вектор нормали плоскости..., проходящей через точки... можно взять вектор, коллинеарный вектору...

- вектор нормали плоскости...

Вектор нормали к плоскости... является направляющим вектором прямой..., проходящей через току... перпендикулярно плоскости...

- каноническое уравнение прямой.

№38.

Найдем любую точку, принадлежащую первой плоскости, и определим расстояние от нее до второй плоскости по формуле для расстояния от точки до плоскости:

где (x0;y0;z0) - координаты точки, а... - уравнение плоскости.

Пусть x=1, y=1, тогда....

Тогда расстояние между двумя плоскостями будет равно:

№48.

На директрисе... возьмем точку... ближайшую к точке... Имеем...

На кривой возьмем произвольную точку.... Получаем... где... - точка директрисы... ближайшая к точке... Так как... то

- окружность с центром в начале координат и радиусом....

Построим окружность на графике.

№53.

а)...

б)...

в)...

г)...

№68.

а)...;

б)...;

Прологарифмируем функцию и применяем формулу ln аn = n?ln а:

в)...;

Функция задана неявно:

Тогда:

г)....

Данная функция задана параметрически:

№72.

x1=-3

Т.к. один из односторонних пределов равен ?, то точка x1=-3 - разрыв II рода.

x2=3

Т.к. один из односторонних пределов равен ?, то точка x2=3 - также разрыв II рода.

Исследуем поведение функции при x???:

Сделаем схематический чертеж

№98.

=...

y' не существует при x=-...

Определим значения функции в критических точках и на границах интервала [-4;1]:

x=-4:...

x=1:...

Точка x=-... является для функции точкой разрыва.

Таким образом, на отрезке [-4;1] функция не имеет наибольшего и наименьшего значения.

№118.

1. Область определения функции.

x2-2x-15?0

=...

x?(-?;-3)?(-3;5)?(5;+?)

2. Четность и нечетность функции.

==> функция свойствами четности или нечетности не обладает.

3. Периодичность функции.

Данная функция не является периодической.

4. Непрерывность функции.

Данная функция является непрерывной на всей области определения.

5. Асимптоты.

а) вертикальные

x=-3

x=5

б) горизонтальные

Горизонтальных асимптот нет.

в) наклонные

y=k?x+b

y=-0,3x-2,6 - наклонная асимптота

6. Интервалы монотонности и точки экстремумов.

Найдем производную функции.

при...

не существует при x1=-3 x2=5

x (-?;-5) -5 (-5;-3) -3 (-3;0) 0 (0;5) 5 (5;9) 9 (9;+?)

- 0 + не сущ. + 0 + не сущ. + 0 -

y убывает min

ymin?-0,125 возрастает не сущ. возрастает -2 возрастает не сущ. возрастает max

ymax?-6,556 убывает

7. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную

=...

не существует при x1=-3 x2=5

Составим таблицу для определения знака второй производной

x (-?;-3) -3 (-3;0) 0 (0;5) 5 (5;+?)

+ не сущ. - 0 + не сущ. -

y вогнута не сущ. выпукла перегиб

yпер=-2 вогнута не сущ. выпукла

8. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: полагаем x=0, тогда y=-2.

С осью OX: полагаем y=0, тогда x1?-6,23 x2?-4,23 x3?3,79.

Построим график функции

№123.

Первое неравенство... задает часть плоскости, лежащую вне окружности... с радиусом.... Второе неравенство... задает внутренность круга, радиусом, равным..., с центром в начале координат. Пересечение этих областей дает искомую часть области - кольцо, при этом граница первого круга входит в область, а граница второго - нет.

№158.

Для нахождения частных производных функции 2 переменных воспользуемся формулами:

Найдем все частные производные:

Тогда требуемые указанные производные будут равны:

№162.

Для нахождения требуемого значения рассмотрим функцию 2 переменных....

Заменим приращение функции дифференциалом, тогда

В данном случае x0=2, ?x=2,02-2=0,02; y0=4, ?y=3,98-4=-0,02.

Найдем частные производные функции в точке (x0,y0):

Тогда

№178.

;...

Построим область:

Найдем частные производные функции:

M(0;0)

Точка М принадлежит области D. Найдем значение функции в точке M:

Исследуем поведение функции на границе области.

1.... =...

Получаем функцию: z=10-x2

=...

=...

=...

=...

2.... =...

Получаем функцию: z=10-x2+2?x?(4-x2)=10-x2+8x-2x3=-2x3-x2+8x+10

=...

=...

3x2+x-4=0

x1=-... x2=1

=...

=...

=...

=...

Таким образом, минимальное значение функции zmin=6, а максимальное zmax=15

№188.

=...

а) Определим градиент функции в точке A:

Найдем частные производные функции Z в точке A:

Тогда

б) Производная по направлению определяется по формуле:

и... были определены ранее. Они равны соответственно 5 и -1. определим направляющие косинусы:

Найдем...:.... Тогда

№26.

Определим направляющий вектор искомой прямой как векторное произведение направляющих векторов заданных прямых:

=...

=...

=...

2 -4 -1

В качестве направляющего вектора можно взять вектор...={1;1;-2}.

Уравнение прямой в пространстве, параллельной заданному вектору и проходящей через точку (x0,y0,z0), имеет вид:

Подставим известные данные в уравнение:

№34.

Точка K(4;6;7) принадлежит прямой, поэтому достаточно найти расстояние от точки K до плоскости.

Расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле:

где (x0;y0;z0) - координаты точки, а... - уравнение плоскости.

подставим известные данные в формулу:

№76.

x=7

Т.к. оба односторонних предела конечны, но не равны между собой, то точка x=7 - разрыв I рода, или скачок.

Исследуем поведение функции при x???:

Сделаем схематический чертеж

№94.

=...

y' не существует при x=-...

В интервал [-1;1] не попадает ни одной критической точки.

Определим значения функции на границах интервала:

x=-1:...

x=1:...

Таким образом, на промежутке [-1;1] минимальное значение функции равно..., а максимальное 3.

№166.

Для нахождения требуемого значения рассмотрим функцию 2 переменных....

Заменим приращение функции дифференциалом, тогда

В данном случае x0=45°, ?x=89°-45°=44°=0,768; y0=4, ?y=4,02-4=0,02.

Найдем частные производные функции в точке (x0,y0):

Тогда

№174.

;...

Построим область:

Найдем частные производные функции:

M(......)

Точка М принадлежит области D. Найдем значение функции в точке M:

Исследуем поведение функции на границе области.

1.... =...

Получаем функцию: z=4x2-4x+3

=...

=...

=...

=...

2.... =...

Получаем функцию: z=9y2-6y+3

z'=18y-6

=...

=...

=...

=...

3.... =...

Получаем функцию: z=4x2+9?(1-x)2-4x-6?(1-x)+3=4x2+9?(x2-2x+1)-4x-6+6x+3=13x2-16x+6

=...

=...

=...

=...

Таким образом, минимальное значение функции zmin=..., а максимальное zmax=6