Вариант 19. Написать формулу Тейлора n – го порядка с остаточным членом в форме Лагранжа для функции

  • ID: 30943 
  • 7 страниц

Фрагмент работы:

Задание 1. Написать формулу Тейлора n – го порядка с остаточным членом в форме Лагранжа для функции:

а)…в точке…

б)…в точке…

Решение:

а)…в точке….

….

….

Тогда

….

Окончательно получим

б)…в точке….

…, где….

Задание 2. Вычислить…с точностью….

Решение:

Формула Маклорена для…:

….

Тогда….

Положив…, совершим погрешность:

….

Подберем…так, чтобы выполнялось неравенство:…(*)

При…:…

При…:…

При…:…

При…:….

Значит, при значении…равенство (*) дает…с точностью…:

….

Задание 3. Провести полное исследование функции…и…и построить их графики.

Решение:

Решение:

1. Область определения функции.

2. Четность и нечетность функции.

…,  функция обладает свойствами нечетной функции.

3. Асимптоты.

а) вертикальные асимптоты в точках разрыва….

Функция не определена в точках….

Исследуем характер разрыва…:

Таким образом, в точке…– разрыв 2-го рода.

Исследуем характер разрыва…:

….

Таким образом, в точке…– разрыв 2-го рода.

б) горизонтальные

Горизонтальных асимптот нет

в) наклонные

y=kx+b

…,…

Наклонная асимптота….

4. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: полагаем x=0, тогда….

С осью OX: полагаем y=0, тогда…,  x=0.

5. Интервалы монотонности и точки экстремумов.

Найдем производную функции.

…, Кроме того:….

Решая, получим точки:…,…,…,….

Составим таблицу для определения знака первой производной

x (-;…)

-3 (…;…)

(…;0)

0 (…;…)

(…;…)

3 (3;+)

- 0 + 0 + 0 + 0 + 0 -

y убыв. min

возр. + возр. 0 возр. + возр. max

убыв.

6. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную

Составим таблицу для определения знака второй производной

x (-;…)

(…;0)

0 (0;…)

(…; +)

+ 0 - 0 + 0 -

y вогнута - выпукла…

вогнута - выпукла

Построим график функции:

Решение:

1. Область определения функции.

2. Четность и нечетность функции.

…,  функция не обладает свойствами нечетной и четной функции.

3. Асимптоты.

а) вертикальные асимптоты в точках разрыва….

Функция не определена в точках….

Исследуем характер разрыва…:

Таким образом, в точке…– разрыв 1-го рода.

Исследуем характер разрыва…:

…,….

Таким образом, в точке…– разрыв 2-го рода.

б) горизонтальные

Горизонтальных асимптот нет

в) наклонные

y=kx+b

Наклонная асимптота отсутствует.

4. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: так как…, то точек пересечения нет с осью Оy.

С осью OX: полагаем y=0, тогда….

5. Интервалы монотонности и точки экстремумов.

Найдем производную функции.

….

Составим таблицу для определения знака первой производной

x (0;1) 1 (1;e) e (e;+)

- нет - 0 +

y убыв. нет убыв.…

возр.

6. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную

Составим таблицу для определения знака второй производной

x (0;1) 1 (1;…)

(…; +)

- нет + 0 -

y выпукла нет вогнута…

выпукла

Построим график функции: