Контрольная работа 7: вариант 1

Фрагмент работы:

Контрольная работа №6

Вариант 1

Задание 1. Исследовать сходимость числового ряда [image], [image].

Решение: используя формулу Даламбера: [image], в нашем случае [image].

Тогда [image].

Значит, данный ряд расходится.

Задание 2. Найти область сходимости ряда [image].

Решение:

Задан степенной ряд [image].

Ищем радиус сходимости ряда, используя формулу Даламбера:

[image], в нашем случае [image].

Тогда [image].

При [image] - ряд сходится. Вычислим поведение ряда на концах интервала:

При [image]: [image] - ряд знакочередующийся.

Сравним данный ряд с рядом [image].

Тогда [image]. Таким образом ряд сходится.

При [image]: [image] - данный ряд так же сходится.

Ответ: Ряд сходится при [image].

Задание 3. Разложить функцию [image] в ряд Фурье.

Решение:

Функция обладает свойствами нечетной функции на интервале [image].

Ряд Фурье для интервала [image] имеет вид: [image]

, где

[image], [image].

Так как функция нечетная, то [image]

Вычислим:

[image].

[image]

[image]

Ответ: [image].

Контрольная работа №7

№1.

[image]

У функции есть 2 особые точки: [image] - полюс первого порядка и [image] - полюс второго порядка. Найдем вычет в каждой из них:

[image]

[image]

[image]

[image]

№2.

[image]

Для вычисления интеграла воспользуемся теоремой Коши о вычетах:

[image]

Для подынтегральной функции [image] точка [image] является полюсом второго порядка, а [image] - полюсом первого порядка. Внутри окружности [image] лежат обе этих точки. Найдем вычеты в них по формуле:

[image]

[image]

[image]

[image]

Тогда

[image]

№3.

[image]

Это уравнение - однородное. Пусть [image], тогда [image]. Далее получим:

[image]

[image]

[image]

[image]

[image]

[image]