Контрольная работа 7: вариант 1

Фрагмент работы:

Контрольная работа 7: вариант 1

Контрольная работа №6

Вариант 1

ЗАДАНИЕ 1. Исследовать сходимость числового ряда.......

Решение: используя формулу Даламбера:..., в нашем случае....

Тогда....

Значит, данный ряд расходится.

ЗАДАНИЕ 2. Найти область сходимости ряда....

РЕШЕНИЕ:

Задан степенной ряд....

Ищем радиус сходимости ряда, используя формулу Даламбера:

в нашем случае....

Тогда....

При... - ряд сходится. Вычислим поведение ряда на концах интервала:

При...:... - ряд знакочередующийся.

Сравним данный ряд с рядом....

Тогда.... Таким образом ряд сходится.

При...:... - данный ряд так же сходится.

ОТВЕТ: Ряд сходится при....

ЗАДАНИЕ 3. Разложить функцию... в ряд Фурье.

РЕШЕНИЕ:

Функция обладает свойствами нечетной функции на интервале....

Ряд Фурье для интервала... имеет вид:...

где

Так как функция нечетная, то...

Вычислим:

…

ОТВЕТ:....

Контрольная работа №7

№1.

…

У функции есть 2 особые точки:... - полюс первого порядка и... - полюс второго порядка. Найдем вычет в каждой из них:

…

№2.

…

Для вычисления интеграла воспользуемся теоремой Коши о вычетах:

…

Для подынтегральной функции... точка... является полюсом второго порядка, а... - полюсом первого порядка. Внутри окружности... лежат обе этих точки. Найдем вычеты в них по формуле:

…

Тогда

…

№3.

…

Это уравнение - однородное. Пусть..., тогда.... Далее получим:

…

Разложим дробь на простые слагаемые:

…

Имеем систему для определения постоянных А, В и С:

Тогда

…

- общее решение данного диф. уравнения

№4.

…

Перейдем к уравнению в операционной форме:

…

=...

=...

=...

…

Восстанавливаем оригинал по изображению:

…