Контрольная работа 10: вариант 2

  • ID: 29777 
  • 19 страниц

Фрагмент работы:

Контрольная работа 10: вариант 2

Контрольная работа №10

Вариант 2

Задание 10.1. Решить дифференциальное уравнение первого порядка....

Решение:

- уравнение с разделяющимися переменными.

Интегрирую обе части уравнения, получим:

Преобразуя, получим окончательно...

Общее решение примет вид:....

Задание 10.2. Решить однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Решение:

Это уравнение - однородное. Пусть..., тогда.... Далее получим:

Интегрируя обе части уравнения, получим:

Общее решение:....

Задание 10.3. Решить дифференциальное уравнение... в полных дифференциалах (сначала проверить, являются ли они таковыми).

Решение:

Проверим, является ли это уравнение уравнением в полных дифференциалах:

Обозначим

;...

Тогда

Т.к...., то это уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Из соотношения... находим:

где... - неизвестная пока функция от y.

Продифференцируем это равенство по y:

Т.к...., то имеем уравнение для определения неизвестной функции...:

Тогда решение данного уравнения будет иметь вид:

Задание 10.4. Найти частное решение линейных уравнений.

Решение:

Пусть..., тогда.... Подставим эти выражения в исходное уравнение

Пусть..., тогда...

Тогда:

Найдем решение, удовлетворяющее начальному условию...:

Имеем уравнение для определения постоянной C:

- частное решение

Задание 10.5. Найти общее решение нелинейных уравнений Бернулли....

Решение:

Это уравнение Бернулли. Сделаем замену..., тогда...

Подставим эти выражения в исходное уравнение

Пусть..., тогда.... Далее получим:

Пусть..., тогда...

Тогда

Тогда:....

Общее решение имеет вид:...

Возвращаясь к старым переменным, получим:

Задание 10.6. Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка путём понижения порядка.

Решение:

а)...

Пусть..., тогда.... Подставим эти выражения в исходное уравнение:

Так как уравнение линейно относительно переменной p, то сделаем замену:.... Тогда получим уравнение:....

Получим:

Соответственно исходное уравнение после подстановки примет вид:....

Окончательно....

Переходя к старым переменным, получим:....

- общее решение.

б)...

Так как дифференциальное уравнение явно не зависит от переменной..., то сделаем замену:..., тогда.... Подставим эти выражения в исходное уравнение:

В результате, получим:...

Из первого уравнения, получим:....

Из второго уравнение, получим:...

Общее решение примет вид:....

Задание 10.7. Найти частное решение линейных однородных уравнений второго порядка (решить задачу Коши).

Решение:

Составим характеристическое уравнение:

k2+4k-5=0

k1=1 k2=-5

Тогда общее решение однородного уравнения запишется в виде:

Найдем решение, удовлетворяющее начальным условиям......:

Подставим в полученные равенства начальные условия. Получим следующую систему:

- решение, удовлетворяющее начальным условиям.

Задание 10.8. Найти частное решение линейных неоднородных уравнений второго порядка (решить задачу Коши).

Найдем сначала решение однородного уравнения....

Составим характеристическое уравнение:

k2-2k+2=0

Тогда общее решение однородного уравнения запишется в виде:

Найдем какое-нибудь частное решение исходного уравнения. Так как число... - удовлетворяет правой части дифференциального уравнения и является числом кратности 1, то будем искать частное решение в виде:

Тогда

Подставим эти выражения в уравнение и получим:

Имеем систему уравнений для определения коэффициентов...:

Т.е. частное решение равно:...

Общее решение равно сумме этих двух решений, т.е.:

Найдем решение, удовлетворяющее начальным условиям......:

Подставим в полученные равенства начальные условия. Получим следующую систему:

- решение, удовлетворяющее начальным условиям.

Контрольная работа №11

Задание 11.1. С помощью необходимого признака установить, какие ряды расходятся. Исследовать сходимость рядов, применяя теоремы сравнения.

a)...

Проверим необходимый признак сходимости ряда:

==> ряд расходится.

b)...

Проверим необходимый признак сходимости ряда:

Пусть....

Т.к....

и ряд с общим членом cn расходится (гармонический ряд), то по второму признаку сравнения также расходится и исходный ряд.

c)...

Проверим необходимый признак сходимости ряда:

==>

ряд расходится.

d)...

Проверим необходимый признак сходимости ряда:

Рассмотрим сходящийся ряд....

Т.к.... и ряд с общим членом cn сходится, то по второму признаку сравнения также сходится и исходный ряд.

Задание 11.2. Исследовать сходимость рядов, применяя признаки сходимости.

a)...

Так как..., удобнее исследовать вместо ряда..., ряд....

Воспользуемся признаком Даламбера:

Поэтому по признаку Даламбера ряд сходится, а значит будет сходится и исходный ряд.

b)...

Воспользуемся радикальным признаком Коши:

поэтому по признаку Коши ряд сходится.

c)...

Воспользуемся признаком Даламбера:

поэтому по признаку Даламбера ряд сходится.

d)...

Воспользуемся интегральным признаком Коши. Рассмотрим положительно определенную функцию... при x?1 и найдем несобственный интеграл...:

Т.к. несобственный интеграл от функции f(x) расходится, то также расходится ряд с общим членом un.

Задание 11.3. Исследовать сходимость знакочередующихся рядов, применяя признак Лейбница; установить, сходится ли ряд абсолютно или условно.

a)...

Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Рассмотрим ряд с общим членом.... Т.к.

и ряд cn сходится (обобщенный ряд с показателем p=2>1), то также сходится и ряд....

Т.к. ряд знакопеременный и..., то ряд сходится по признаку Лейбница. Таким образом, данный ряд сходится абсолютно.

b)...

Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Рассмотрим ряд с общим членом.... Т.к.

и гармонический ряд cn расходится, то также расходится и ряд....

Т.к. ряд знакопеременный и..., то ряд сходится по признаку Лейбница. Таким образом, данный ряд сходится условно.

Задание 11.4. Найти область сходимости рядов; исследовать сходимость рядов на границе области сходимости.

a)...

Определим радиус сходимости этого ряда:

==> ряд сходится при....

Исследуем сходимость ряда на границах интервала

При x=-... получим ряд

- Т.к. получившийся ряд знакопеременный и..., то он сходится по признаку Лейбница.

При x=... получим ряд

- расходится как гармонический ряд.

Оба эти ряда расходятся. Так как их можно сравнить с гармоническим рядом, который является расходящимся. Окончательно получим, что ряд сходится при x?[-...;...).

b)...

Коэффициенты степенного ряда равны:....

Установим границы абсолютной сходимости ряда, используя признак Даламбера:

Общий член ряда......, тогда

Чтобы ряд сходился, должно выполняться условие:

...

Исследуем сходимость ряда на границах интервала

При x=3/2 получим ряд

При x=5/2 получим ряд

Т.к. получившиеся ряды знакопеременные и..., то они сходится по признаку Лейбница.

Окончательно получим, что ряд сходится при....

Задача 11.5. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности заданной точки и найти область сходимости полученного ряда.

Воспользуемся разложением в ряд функции... и...в окрестности точки...:

тогда

Тогда...

Область сходимости ряда....

Задание 11.6. Вычислить приближенно интеграл с указанной точностью.

; 0,001

Решение:

Воспользуемся разложением в ряд функции...:

тогда

Т.к. пределы интегрирования входят в область сходимости ряда, то его можно почленно интегрировать:

Получившийся ряд является знакопеременным, поэтому остаток ряда не превышает модуля последнего отброшенного члена.

?-0,0276

Задание 11.7. Найти решение дифференциального уравнения в виде степенного ряда.

Решение:

Будем искать решение в виде степенного ряда.... Тогда..., а.... Подставим эти выражения в уравнение:

Составим систему уравнений для определения коэффициентов:

Для решения этой системы воспользуемся начальными условиями.

Т.к...., то... и....

Т.к...., то... и....

Подставив в систему уравнений..., получим:

Таким образом, решение этого диф. уравнения (при заданных начальных условиях) будет иметь вид:....

Задание 11.8. Разложить функцию в ряд Фурье.

Коэффициенты разложения ряда Фурье 2l периодической функции определяются по формулам:

Само разложение имеет вид:

Найдем коэффициенты разложения:

Тогда разложение будет иметь вид:

Контрольная работа №12

Задание 12.1. В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам наудачу отобрана группа из 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных окажется 3 женщины.

Решение:

Определим вероятность по формуле классической вероятности. Т.к. известно, что отобрана группа из 7 человек, то возможны следующие комбинации наборов женщин и мужчин: (1ж+6м), (2ж+5м), (3ж+4м), (4ж+3м). Таким образом, общее число равновозможных исходов равно n=... - выбрать 7 человек из 10. Количество благоприятных исходов равно k=4 или числу сочетаний... - выбрать 3 женщины из 4. Тогда вероятность этого события будет равна:

Задание 12.2. Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка - 0,75, для второго - 0,8, для третьего - 0,9. Определить вероятность того, что все три стрелка одновременно попадут в цель.

Решение:

Рассмотрим события:

А - первый стрелок поразил цель

В - второй стрелок поразил цель

С - третий стрелок поразил цель

F - хотя бы один стрелок поразил цель

Найдем вероятность события, т.е. что все стрелки поразили цель. В этом случае они должны все попасть, т.е.

=...?...?...

По условию задачи Р(А)=0,75, Р(В)=0,8, Р(С)=0,9.

Тогда вероятность события будет равна:....

Поскольку события...... и... независимы, то по теореме вероятности произведения независимых событий

Задание 12.3. На трех домостроительных комбинатах при одинаковых и независимых условиях изготавливаются панели одного наименования. На ДСК - 1 выпускают 10%, на ДСК - 2 - 30%, на ДСК - 3 - 60% всех панелей. Вероятность выпуска бездефектной панели на ДСК - 1 - 0,7; на ДСК - 2 - 0,8; на ДСК - 3 - 0,9. Найти вероятность того, что панель бездефектная, если она выбрана случайно.

Решение:

Рассмотрим гипотезы:

H1 - панель произведена на ДСК - 1

H2 - панель произведена на ДСК - 2

H3 - панель произведена на ДСК - 3

и событие

F - выбранная панель оказалась бездефектной

Тогда

=...

=...

=...

Гипотезы Hi образуют полную группу, поэтому по формуле полной вероятности получим:

=...

Задача 12.4. Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что "герб" выпадет менее 2 раз; ровно 4 раза.

Решение:

Т.к. событие выпадения "герба" или "решка" наступает с одной и той же вероятностью, то есть p=q=0,5, то для расчетов воспользуемся формулой Бернулли:

По условию задачи n=5, p=0,5, а q=1-p=1-0,5=0,5

а) "герб" выпадет менее 2 раз (0 или 1)

б) ровно 4 раза (k=4):

Задание 12.5. Счетчик регистрирует попадающие в него частицы с вероятностью 0,9. Какова вероятность того, что он зарегистрировал 150 частиц, если в него попало 513 частиц? Найти вероятность зарегистрировать не менее 415 частиц из всех попавших.

Решение:

По условию задачи n=1000, p=0,9, ==> q=1-p=1-0,9=0,1

Значение n=513 достаточно велико, поэтому для расчетов воспользуемся локальной и интегральной формулами Лапласа:

а) счетчик зарегистрирует 150 частиц

где..., а ?(x) - локальная функция Лапласа

По таблице находим, что ?(-45,87)=?(45,87)=0, ==>...

б) счетчик зарегистрирует не менее 415 частиц из всех попавших:

Pn(k1;k2)=...?Ф(x2)-Ф(x1), где... и..., а Ф(x) - интегральная функция Лапласа

По таблице значений функции Ф(x) находим, что Ф(-6,87)=-Ф(6,87)=-0,5, а

Ф(7,54)=0,5 ==>P513(415;513)?0,5+0,5=1.

Задание 12.6. Вероятность потерпеть крушение для отдельного самолета авиакомпании составляет 0,0001. Случайная величина X - число аварийных перелетов из 8 запланированных.

Решение:

1) Определим возможные значения случайной величины Х и их вероятности. В данном случае вероятности находим по формуле Бернулли:

=...

Х=0:...

Х=1:...

Х=2:...

Х=3:...

Х=4:...

Х=5:...

Х=6:...

Х=7:...

Х=8:...

Запишем ряд распределения

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8

p...........................

Математическое ожидание и дисперсия находятся по формуле:

Для биномиального закона математическое ожидание и дисперсию можно найти по формулам:

Изобразим ряд распределения графически в виде многоугольника

Составим функцию распределения:

Построим график функции распределения

Задание 12.7.

Плотность распределения будет равна

Определим числовые характеристики этой случайной величины:

а)....

Тогда

Вычислим функцию распределения:

При.......

При.......

При.......

б) математическое ожидание

Графики плотности и функции распределения:

Задание 12.8. а) Случайная величина X нормально распределена с параметрами.... Написать функцию плотности нормального распределения с.в. X. Найти, что больше... или.... б) Даны 23 промежутка времени (час) восстановления работоспособности системы водопроводов в случае коррозийных повреждений: 2,33, 3,0, 3,45, 5,33, 5,55, 6,0, 6,75, 7,0, 7,25, 7,33, 10,0, 11,0, 14,0, 7,0, 5,0, 15,0, 10,58, 21,0, 24,0, 24,5, 11,68. Принимая, что с.в. X - промежуток времени восстановления работоспособности - имеет нормальное распределение, найти доверительный интервал для ее математического ожидания с надежностью 0,97.

Решение:

а) плотность распределения для нормального закона задается формулой:

где a и ? - математическое ожидание и дисперсия случайной величины

Получим, что M(X)=3, а D(X)=?2=12=1.

Вероятность того, что случайная величина, распределенная по нормальному закону, попадет в интервал (?;?), определяется по формуле:

где a и ? - математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины, а Ф(Х) - интегральная функция Лапласа.

Тогда

Значения Ф(1,5)=0,4332 и Ф(3,5)=0,4992 найдены по таблице значений интегральной функции Лапласа

б) Рассчитаем числовые характеристики вариационного ряда:

а) выборочное среднее:

б) выборочная дисперсия:

в) выборочное среднее квадратическое отклонение

Доверительный интервал для оценки математического ожидания находится по формуле

где... - среднее квадратическое отклонение, а t - коэффициент доверия, который находится из соотношения 2Ф(t)=?. Найдем t:

=...

По таблице значений функции Ф(t) определяем, что значению функции, равному 0,46, соответствует значение аргумента, равное t=2,20

Тогда доверительный интервал будет

(9,033-0,652;9,033+0,652)

(8,381;9,685)