Контрольная работа 10: вариант 2

  • ID: 29777 
  • 19 страниц

Фрагмент работы:

Контрольная работа №10

Вариант 2

Задание 10.1. Решить дифференциальное уравнение первого порядка [image].

Решение:

[image] - уравнение с разделяющимися переменными.

[image]

[image].

Интегрирую обе части уравнения, получим:

[image]Преобразуя, получим окончательно, [image]

Общее решение примет вид: [image].

Задание 10.2. Решить однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Решение:

[image]

Это уравнение – однородное. Пусть [image], тогда [image]. Далее получим:

[image]

[image]

[image]

[image]

[image].

Интегрируя обе части уравнения, получим:

[image]

Общее решение: [image].

Задание 10.3. Решить дифференциальное уравнение [image] в полных дифференциалах (сначала проверить, являются ли они таковыми).

Решение:

[image]

Проверим, является ли это уравнение уравнением в полных дифференциалах:

Обозначим

[image]; [image]

Тогда

[image]

[image]

Т.к. [image], то это уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Из соотношения [image] находим:

[image],

где [image] - неизвестная пока функция от .

Продифференцируем это равенство по :

[image].

Т.к. [image], то имеем уравнение для определения неизвестной функции [image]:

[image]

[image]

[image]

Тогда решение данного уравнения будет иметь вид:

[image]

Задание 10.4. Найти частное решение линейных уравнений.

[image], [image]

Решение:

Пусть [image], тогда [image]. Подставим эти выражения в исходное уравнение

[image]

[image]

Пусть [image], тогда [image]

[image]

[image]

Тогда:

[image]

Найдем решение, удовлетворяющее начальному условию [image]:

Имеем уравнение для определения постоянной C:

[image]

[image] - частное решение

Задание 10.5. Найти общее решение нелинейных уравнений Бернулли [image].

Решение:

[image]