Вариант 9. Дано комплексное число z. Требуется: записать число z в алгебраической, тригонометрической и показательной

Фрагмент работы:

№129. Дано комплексное число z. Требуется: 1) записать число z в алгебраической, тригонометрической и показательной формах; 2) вычислить выражение из п. б), ответ записать в показательной и алгебраической формах; 3) найти все корни уравнения [image] и изобразить их точками на комплексной плоскости.

Решение:

1)Задано комплексное число [image].

а) [image] - алгебраическая форма записи.

б) Модуль z: [image]

[image]

в) тригонометрическая форма: [image]

показательная форма: [image]

2) Вычислим выражение [image].

Преобразуем: [image]

[image]

Алгебраическая форма: [image].

Показательная форма: [image].

Тригонометрическая форма: [image].

3) Решим уравнение [image].

Преобразуем:

[image].

Извлечение корня n-й степени из комплексного числа выполняется по формуле:

[image], k=0,1,…,n-1

[image] [image]

[image] при [image]

[image] при [image]

[image] при [image]

Построим корни на комплексной плоскости:

[image]

№ 139. Найти неопределённый интеграл. В пунктах а) и б) результаты проверить

дифференцированием.

а) [image]

Проверка: [image]

б)

[image]

Проверка: [image]

в)[image]

[image]

Решая систему уравнений, получим: [image]

[image]

Ответ: [image]

г)

[image]

№ 149. Вычислить интеграл или доказать расходимость несобственного интеграла.

[image] интеграл сходится.

[image] № 159. Вычислить длину кардиоиды [image]

В полярной системе координат длинна дуги вычисляется по формуле: [image]

[image], причем [image].

Тогда: [image]

Получим:

[image]

Ответ: [image]

№ 169. Найти общее решение [image]

Данное уравнение является однородным. Замена [image] или [image].

Подставим в исходное уравнение и получим уравнение вида:

[image] или [image], [image].

Интегрируя обе части равенства, получим: [image].

[image], [image]. Тогда [image].