Вариант 9. Дано комплексное число z. Требуется: записать число z в алгебраической, тригонометрической и показательной

Фрагмент работы:

№129. Дано комплексное число z. Требуется: 1) записать число z в алгебраической, тригонометрической и показательной формах; 2) вычислить выражение из п. б), ответ записать в показательной и алгебраической формах; 3) найти все корни уравнения... и изобразить их точками на комплексной плоскости.

Решение:

1)Задано комплексное число....

а)... - алгебраическая форма записи.

б) Модуль z:...

…

в) тригонометрическая форма:...

показательная форма:...

2) Вычислим выражение....

Преобразуем:...

…

Алгебраическая форма:....

Показательная форма:....

Тригонометрическая форма:....

3) Решим уравнение....

Преобразуем:

Извлечение корня n-й степени из комплексного числа выполняется по формуле:

=...

при...

при...

при...

Построим корни на комплексной плоскости:

…

№ 139. Найти неопределённый интеграл. В пунктах а) и б) результаты проверить

дифференцированием.

а)...

Проверка:...

б)

Проверка:...

в)...

…

Решая систему уравнений, получим:...

…

Ответ:...

г)

№ 149. Вычислить интеграл или доказать расходимость несобственного интеграла.

интеграл сходится.

№ 159. Вычислить длину кардиоиды...

В полярной системе координат длинна дуги вычисляется по формуле:...

причем....

Тогда:...

Получим:

Ответ:...

№ 169. Найти общее решение...

Данное уравнение является однородным. Замена... или....

Подставим в исходное уравнение и получим уравнение вида:

или.......

Интегрируя обе части равенства, получим:....

Тогда....

Используя замену, получим:...

Общее решение примет вид:....

№ 179. Найти общее решение... (1)

Уравнение не содержит явно..., поэтому сделаем замену......, тогда

уравнение примет вид:... - уравнение линейно относительно переменной z.

Замена.... Имеем....

Пусть.... Интегрируя обе части равенства, получим:

или..., где........ Подставляя в (1), получим:... или..., интегрируя обе части равенства, получим:....

Тогда..., но......

Общее решение примет вид:....

№ 189. Найти общее решение... при начальных условиях

Решаем однородное уравнение:.... Составим характеристическое уравнение

- корень кратности 2. Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид:....

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:.........

Подставляем и получим:..., откуда....

Тогда.... Общее решение:... и....

Ищем решение, удовлетворяющее начальным условиям...:

Находим, что.......

Окончательно, получим:...

№ 199. Методом вариаций произвольных постоянных найти общее решение уравнения второго порядка....

Решение:

Решаем однородное уравнение:.... Составим характеристическое уравнение

Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид:....

Пусть.... Тогда применяя метод вариации произвольных постоянных, получим систему уравнений для определения неизвестных... и...:

Вычислим интеграл...

Аналогично вычислим интеграл

Окончательно, получим:

…

№ 209. Решить систему... линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами... при заданных начальных условиях, если...

Решение:

Найдем собственные числа системы линейных однородных уравнений, решая уравнение:

Вычислим собственный вектор..., соответствующие собственному числу....

При..., получим:

При..., получим:

При..., получим:

Общее решение имеет вид:

Для нахождения неизвестных......... используя начальные данные, получим:

…

Окончательно

…