Вариант 9. Дано комплексное число z. Требуется: записать число z в алгебраической, тригонометрической и показательной
- ID: 29764
- 7 страниц
Фрагмент работы:
№129. Дано комплексное число z. Требуется: 1) записать число z в алгебраической, тригонометрической и показательной формах; 2) вычислить выражение из п. б), ответ записать в показательной и алгебраической формах; 3) найти все корни уравнения [image] и изобразить их точками на комплексной плоскости.
Решение:
1)Задано комплексное число [image].
а) [image] - алгебраическая форма записи.
б) Модуль z: [image]
[image]
в) тригонометрическая форма: [image]
показательная форма: [image]
2) Вычислим выражение [image].
Преобразуем: [image]
[image]
Алгебраическая форма: [image].
Показательная форма: [image].
Тригонометрическая форма: [image].
3) Решим уравнение [image].
Преобразуем:
[image].
Извлечение корня n-й степени из комплексного числа выполняется по формуле:
[image], k=0,1,…,n-1
[image] [image]
[image] при [image]
[image] при [image]
[image] при [image]
Построим корни на комплексной плоскости:
[image]
№ 139. Найти неопределённый интеграл. В пунктах а) и б) результаты проверить
дифференцированием.
а) [image]
Проверка: [image]
б)
[image]
Проверка: [image]
в)[image]
[image]
Решая систему уравнений, получим: [image]
[image]
Ответ: [image]
г)
[image]
№ 149. Вычислить интеграл или доказать расходимость несобственного интеграла.
[image] интеграл сходится.
[image] № 159. Вычислить длину кардиоиды [image]
В полярной системе координат длинна дуги вычисляется по формуле: [image]
[image], причем [image].
Тогда: [image]
Получим:
[image]
Ответ: [image]
№ 169. Найти общее решение [image]
Данное уравнение является однородным. Замена [image] или [image].
Подставим в исходное уравнение и получим уравнение вида:
[image] или [image], [image].
Интегрируя обе части равенства, получим: [image].
[image], [image]. Тогда [image].