Задачи 14, 34, 44, 54, 64, 84, 94

  • ID: 29177 
  • 5 страниц
230 рубСкачать

29177.doc

Фрагмент работы:

Задача 14. Вычислить определенный интеграл [image].

Решение:

[image]

[image]

[image]

[image]

[image].

Задание 34. Вычислить площадь фигуры, ограниченную кривыми [image]

Решение:

Построим на плоскости ХОY заданные кривые.

Найдём точки пересечения кривых: [image].

Тогда:

[image]

Задание 44. Найти длину кривой, заданной в декартовой системе координат параметрически.

Решение:

[image]

Длина дуги в параметрической форме записи определяется по формуле: [image].

Вычислим производные функций [image]: [image].

Тогда [image]

[image][image].

Задача 54. Найти объем тела, полученного в результате вращения фигуры [image], ограниченной заданными кривыми, вокруг оси Ох.

Решение:

Построим в плоскости ХОY заданные кривые:

[image]

Объем тела, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси Оx определяется формулой: [image], где [image]- объем фигуры образованной вращением вокруг оси Ох кривой [image],

[image]- объем фигуры образованной вращением вокруг оси Ох кривой [image].

Тогда: [image].

Задание 64. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка [image]

Решение:

Данное уравнение является линейным относительно переменной y. Тогда решение уравнения будет искать в виде [image].

Получим после подстановки: [image]. (1)

Пусть [image], тогда [image]. Интегрируя обе части равенства, получим:

[image] или [image], где [image]. [image].

Подставляя в (1), получим:

[image] или [image], интегрируя обе части равенства, получим: [image], [image]. Тогда [image]

Общее решение примет вид: [image].

Задание 84. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами [image], удовлетворяющее начальным условиям [image].

Решение:

Решаем однородное уравнение: [image]. Составим характеристическое уравнение

[image], [image]. Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид: [image].

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: [image], [image], [image]