Контрольная работа 1, 2, 3 - вариант 11

  • ID: 29016 
  • 19 страниц

Фрагмент работы:

Контрольная работа 1, 2, 3 - вариант 11

Контрольная работа №1.

Задача №1.

Вектор... перпендикулярен векторам...

Векторы... образуют правую тройку векторов:

Задача №20.

а) Высота LN перпендикулярна стороне KM. По условию перпендикулярности двух прямых

Найдем угловой коэффициент прямой KM по формуле:....

тогда...

Составим уравнение высоты LN по известной точке и угловому коэффициенту:

=...

=...

y-4=-2x-6

2x+y+2=0 (высота LN)

б) Найдем длину высоты LN по формуле для расстояния от точки до прямой:

Составим уравнение прямой KM:

=...

y-5=...(x+2)

2y-10=х+2

x-2y+12=0 (сторона KM)

Тогда...

в) Координаты точки E, симметричной точке L относительно прямой KM, можно найти, используя формулы для координат середины отрезка:

Отсюда

=...

Найдем координаты точки N как точки пересечения прямых KM и LN:

Тогда

=...

д) Найдем направляющий вектор биссектрисы как сумма ортов векторов... и.... Определим координаты соответствующих векторов:

={1;1}

={9;5}

Определим орты векторов.

:...

:...

Тогда направляющий вектор биссектрисы равен:

Составим уравнение биссектрисы по направляющему вектору и точке, принадлежащей прямой:

-

-( уравнение прямой, содержащей биссектрису угла...)

Задача №22.

За вектор нормали плоскости..., проходящей через точки... можно взять вектор, коллинеарный вектору...

- вектор нормали плоскости...

Вектор нормали к плоскости... является направляющим вектором прямой..., проходящей через току... перпендикулярно плоскости...

- каноническое уравнение прямой.

Задача №33.

Найдем какую-нибудь точку, принадлежащую первой плоскости.

Пусть x=-1, y=1, тогда z=1.

Расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле:

где (x0;y0;z0) - координаты точки, а... - уравнение плоскости.

Тогда расстояние от первой плоскости до второй будет равно:

Задача №50.

Возьмем произвольную точку..., удовлетворяющую условию задачи. На прямой... возьмем точку....

Длина вектора... равна расстоянию от точки... до прямой..., а длина вектора... равна расстоянию от точки... до точки...:....

Из условия задачи находим:

Контрольная работа №2.

Задача №51.

а)...

б)...

в)...

г)...

Задача №70.

а)...

б)...

в)...

г)...

Задача №72.

x1=-3

Т.к. один из односторонних пределов равен ?, то точка x1=-3 - разрыв II рода.

x2=3

Т.к. один из односторонних пределов равен ?, то точка x2=3 - также разрыв II рода.

Исследуем поведение функции при x???:

Сделаем схематический чертеж

Задача №93.

=...

2x2-6x =0

2x(x-3)=0

x1=0, x2=3

y' не существует при x=...

Определим значения функции в критических точках, принадлежащих интервалу [-1;3], и на его границах:

x=-1:...

x=0:...

x=3:...

Точка x=... является для функции точкой разрыва.

Таким образом, на отрезке [-1;3] функция не имеет наибольшего и наименьшего значения.

Задача №110.

1. Область определения функции.

В нашем примере это множество всех действительных чисел, то есть x...( -...; +...).

2. Четность и нечетность функции:

f(-x)...? ? f(x).

Видим, что f(-x)...f(x) и f(-x)...-f(x), значит, функция свойствами четности или нечетности не обладает. Делаем вывод, что график функции не будет симметричен ни относительно оси Oу, ни относительно начала координат.

3. Периодичность функции.

Данная функция не является периодической, как многочлен.

4. Непрерывность функции.

На всей области определения данная функция является непрерывной как многочлен.

5. Поведение функции на границах области определения.

Границами области определения являются "..." и "...", так как...

Найдем пределы функции при...:

;

таким образом, знак бесконечности определяется знаком старшего члена х4. Это означает, что слева график функции уходит неограниченно вниз, а справа - неограниченно вверх.

6. Интервалы монотонности и точки экстремумов.

Найдем точки, подозрительные на экстремум. Согласно необходимого условия экстремума: в точках экстремума производная равна нулю или не существует.

Находим производную: y`=2(12х3-12x2)=24x2(х-1). Она существует при любых х. Решим уравнение y`=0:

=...

Эти точки являются критическими. Они делят область определения на интервалы монотонности функции (интервалы возрастания и убывания).

Это интервалы (-...;0), (0;1) и (1;+...).

x (-?;0) 0 (0;1) 1 (1;+...)

- - +

y убывает - убывает min

ymin=0 возрастает

Точка минимума: (1; 0).

7. Интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

Это исследование проводится с помощью второй производной.

Найдем точки, подозрительные на перегиб, используя необходимое условие перегиба: в точках перегиба вторая производная либо равна нулю, либо не существует.

Так как у`=2(12х3-12x2), то у``=24х2(3х-2)

Эта точка является критической. Она делит область определения на интервалы:

Это интервалы (-...;0); (0;...) и (...;+...).

x (-?;0) 0 (0;...)... (...;+...)

- - +

y выпуклая - выпуклая Yперегиба=... вогнутая

Точка перегиба: (...;...).

8. Точки пересечения графика с осями координат.

С осью Oу:

полагаем х=0 и, подставляя это значение в данную функцию..., находим:

y(0) =...

Получим точку (0;2).

С осью Ох: полагаем y=0, находим х из уравнения

Таким образом, график функции пересекает ось ОХ в точке : (1;0).

9. Дополнительные точки: (-0,5;3,375) и (1,5;5,375).

Контрольная работа №3.

Задача №121.

x?0

x?0

Тогда

-х2?y?х2, ==>y...-х2 и y?х2

Построим область:

Задача №150.

Задача №162.

Для нахождения требуемого значения рассмотрим функцию 2 переменных....

Заменим приращение функции дифференциалом, тогда

В данном случае x0=2, ?x=2,02-2=0,02; y0=4, ?y=3,98-4=-0,02.

Найдем частные производные функции в точке (x0,y0):

Тогда

Задача №173.

;...

Построим область:

Найдем частные производные функции:

M(1,-1)

Точка М не принадлежит области D.

Исследуем поведение функции на границе области.

1.... =...

Получаем функцию: z=x2+4x+1

=...

=...

=...

=...

2.... =...

Получаем функцию: z=-y2+6y-2

z'=-2y+6

=...

=...

=...

3.... =...

Получаем функцию: z=x2-2x?(-1-x)-(-1-x)2+4x+1=x2+2x+2x2-1-2x-x2+4x+1=2x2+4x

=...

=...

=...

Таким образом, минимальное значение функции zmin=-3, а максимальное zmax=6.

Задача №190.

а) Определим градиент функции в точке A:

Найдем частные производные функции Z в точке A:

Тогда

б) Производная по направлению определяется по формуле:

и... были определены ранее. Они равны соответственно....

Найдем...:

Тогда:

Контрольная работа №4

Задача №201. Найти неопределенный интеграл.

а)...

б)...

в)......

Задача №230. Найти объем тела вращения плоской фигуры... вокруг оси ох.

Решение:

Выполним чертеж фигуры в области...:

Плоская фигура не симметрична относительно оси Ох. Выполним сдвиг вдоль оси Оy на +2. В результате получим систему уравнений симметричную относительно оси Ох:

Тогда

Задача №232. Изменить порядок интегрирования...

Решение:

Построим область:

Поменяем пределы интегрирования

Контрольная работа №5

Задача №241. Найти общее решение дифференциального уравнения...

Решение:

Перепишем дифференциальное уравнение в виде....

Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

Получим:...

Преобразуем и получим окончательно общее решение дифференциального уравнения:

Задание № 260. Найти решение задачи Коши...

Решение:

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни.

k2-4k+5=0...

Тогда общее решение однородного уравнения запишется в виде:

=...

Найдем частное решение исходного уравнения. Решение будем искать в виде:..........

Подставим найденные выражения в уравнение

Частное решение имеет вид:...

Общее решение примет вид:....

Найдем решение, удовлетворяющее начальным условиям:

Частное решение примет вид:

Задание №262. Исследовать на сходимость знакоположительный ряд...

Решение:

Перепишем общий член ряда виде:....

Сравним данный ряд с рядом....

Вычислим отношение:....

Значит так как ряд... является сходящимся как обобщенный ряд Дирихле с показателем..., то ряд... также является сходящимся рядом.

Задание №273. Исследовать на сходимость знакопеременный ряд....

Решение:

Проверим ряд на абсолютную сходимость. Рассмотрим ряд с общим членом... и найдем предел отношения...:

Т.к. показатель степени ряда с общим членом... p=1,3>1, то оба эти ряда сходятся (по второму признаку сравнения), т.е. исходный ряд сходится абсолютно.

Задание №290. Найти интервал сходимости степенного ряда....

Решение:

Сделаем замену переменной: y=x-2, тогда ряд примет вид:

Определим радиус сходимости ряда:......

Т.е. y?(-4;4). Перейдем к старым переменным

-4