Задания 4, 14, 24, 34 (а, б), 44, 54 (б), 74, 84, 94

  • ID: 28966 
  • 9 страниц

Фрагмент работы:

№ 4.

Решение:

Вычислим значение... и... в точке...:

и....

Запишем... и...

Вычислим дифференциалы в точке...

Составим уравнение касательной:...

или....

В итоге уравнение касательной примет вид:...

Составим уравнение нормали:...

или... - уравнение нормали.

№ 14.

1....

2....

Продифференцируем обе части равенства по x:....

Преобразуем:.... В итоге получим:...

№ 24.

Решение:

Ищем решение в виде разложения в степенной ряд функции...:

при...:...

Найдем три первых, отличных от нуля члена степенного ряда:

Тогда три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд, будут иметь вид:

Ответ:...

№ 34.

а)....

Вычислим предел выражения:...

Значит....

б)...

№ 44.

Найти точки экстремума.

Построим график функции:

Ответ:....

№ 54.

б)...

1. Область определения функции:... или....

2. Четность и нечетность функции.

==> функция не обладает свойствами четности и нечетности.

3. Асимптоты.

а) вертикальные асимптоты в точках разрыва....

Функция не определена в точке.... Исследуем характер разрыва...:

- вертикальная асимптота справа.

Таким образом, в точке... - разрыв 2-го рода.

б) горизонтальные

Горизонтальных асимптот нет.

в) наклонные

y=k?x+b

Наклонных асимптот нет.

4. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: нет точек пересечения

С осью OX: полагаем y=0, тогда...

5. Интервалы монотонности и точки экстремумов.

Найдем производную функции.

Решая, получим точки:.... Кроме того....

Составим таблицу для определения знака первой производной

x (0;1) 1 (1; +?)

+ 0 -

y возрастает max

убывает

6. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную

Точек перегиба нет.

Построим график функции:

№ 74.

Решение:

Необходимым условием существования экстремума функции двух переменных: если функция... достигает экстремума в точке..., то есть частные производные первого порядка в этой точке равны нулю:....

Получим:

Проверим достаточное условие существования экстремума двух переменных.

Предварительно вычислим значения:

Получим:

Тогда:

- значит функция... в точке... не является экстремумом.

Уравнение касательной плоскости в точке... к поверхности... имеет вид:

Найдем частные производные:

Тогда градиент функции z в точке... равен:

Окончательно уравнением касательной плоскости примет вид:

№ 84.

Найти наименьшее и наибольшее значение функции

в области D:...

Построим исследуемую область:

Ищем критические точки внутри области:

Решением системы уравнений является точка....

Исследуем поведение на границе:

1. При.........

Точка...... - уже рассмотрена.

2. При..........

Точка рассмотрена.......

3. При......

Получим точки....

4. В условных точках:

Проверим достаточное условие существования экстремума двух переменных.

Предварительно вычислим значения:

Тогда:

- значит функция... в точке... не является экстремумом.

Сравнивая значения..., получим, что

Наибольшее значение....

Наименьшее значение...

№ 94.

Дана функция... и точка...

Найти: а) градиент данной функции в точке A;

б) производную данной функции в точке A по направлению вектора....

Решение:

а)...

Найдем частные производные функции Z в точке M:

б)...

и... были определены ранее. Они равны соответственно... и....

Найдем...:.... Тогда

Ответ:...;...