Контрольная работа 4, 5. Найти неопределенный интеграл

  • ID: 28560 
  • 6 страниц

Фрагмент работы:

Контрольная работа 4, 5. Найти неопределенный интеграл

Контрольная работа №4

№ 211. Найти неопределенный интеграл.

Решение:

1.....

2....

3.....

№230. Найти объем тела вращения плоской фигуры вокруг указанной оси.

Решение:

Выполним чертеж заданной кривой:

Тогда искомый объем определим по формуле:

№ 240. Найти объем тела с помощью двойного интеграла в декартовой системе координат, ограниченного поверхностями....

Решение:

Выполним чертеж:

Воспользуемся формулой для вычисления объема заданной фигуры:

Контрольная работа №5

№ 241. Найти общее решение дифференциального уравнения....

Решение:

Перепишем данное уравнение в виде:....

Полученное уравнение является дифференциальным уравнение с разделяющимися переменными. Проинтегрируем обе части равенства и получим:

Тогда общее решение примет вид:....

№ 260. Найти решение задачи Коши....

Решение:

Решаем однородное уравнение:.... Составим характеристическое уравнение

Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид:....

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:.........

Подставляем и получим:...

откуда.... Тогда....

Общее решение:... и....

Ищем решение, удовлетворяющее начальным условиям...:

Находим, что.......

Окончательно, получим:...

№ 270. Исследовать на сходимость знакоположительный ряд....

Решение:

Применим радикальный признак Коши, обозначив....

Тогда....

По радикальному признаку Коши... ряд расходится.

№ 276. Исследовать на сходимость знакопеременный ряд....

Решение:

Данный ряд является знакопеременным:...

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных слагаемых исходного ряда:

Применим радикальный признак Коши для сходимости данного числового ряда:

По радикальному признаку Коши... ряд сходится абсолютно. Значит сходится и исходный ряд. Ряд... - сходится.

№ 290. Найти интервал сходимости степенного ряда....

Решение:

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин:

Все члены этого ряда положительны, поэтому к нему можно применить признак Даламбера:......

Ищем радиус сходимости ряда, используя формулу Даламбера:....

Найдем значение x, при которых этот предел будет меньше единицы, то есть решим неравенство:.... Запишем полученное неравенство в виде двойного неравенства:.... Интервал симметричен относительно точки..., а радиус сходимости....

Исследуем сходимость ряда на концах интервала.

При... - ряд сходится.

При...:... - ряд знакочередующийся.

С возрастание n члены ряда убывают по абсолютной величине:...

Сравним данный ряд с... - гармоническим рядом.

Тогда.... Значит по второму признаку сравнения рядов ряд сходится или одновременно расходится с рассматриваемом. В нашем случае, ряд... - является расходящимся. Значит, в точке... данный ряд расходится.

При...:... - ряд знакочередующийся.

Аналогично, данный ряд расходится в точке... так как гармонический ряд является расходящимся.

Ряд сходится при....

№ 304. Вычислить приближенно интеграл...

Решение:

Используем разложение:

Получим:...

Ответ:....