Вариант 2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному начальному условию

  • ID: 28250 
  • 4 страницы

Фрагмент работы:

Задача 8. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному начальному условию

[image]; [image].

Решение:

Данное уравнение является линейным относительно переменной y. Тогда решение уравнения будет искать в виде [image].

Получим после подстановки: [image]. (1)

Пусть [image], тогда [image]. Интегрируя обе части равенства, получим:

[image] или [image], где [image]. [image]. Подставляя в (1), получим:

[image] или [image], интегрируя обе части равенства, получим: [image].

Тогда [image]

Общее решение примет вид: [image].

Используя начальные данные, получим: [image]

Частное решение примет вид: [image].

Задача 9. Найти интервал сходимости степенного ряда

[image]

Решение:

Ищем радиус сходимости ряда, используя формулу Даламбера: [image], в нашем случае [image].

Тогда [image].

При [image] - ряд сходится. Вычислим поведение ряда на концах интервала:

При [image]: [image] - ряд сходится по необходимому признаку сходимости рядов [image], в данном случае [image].

При [image]: [image] - ряд знакочередующийся.

Ряд сходится по признаку Лейбница, так как [image] - монотонно убывающая последовательность. [image].

Ответ: Ряд сходится при [image].

Задачи 10-11. Тема: случайные события

10. В каждой из двух урн содержится 8 черных и 2 белых шара. Из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в первую. Найти вероятность того, что шар, извлеченный из первой урны, окажется черным.

Решение:

Рассмотрим гипотезы:

H1 – из второй урны переложили черный шар

H2 – из второй урны переложили белый шар

и событие

F – шар, извлеченный из второй урны, оказался черным

Тогда

Гипотезы H1 и H2 образуют полную группу, поэтому по формуле полной вероятности получим:

[image]

11. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в 1 мин, равно двум. Найти вероятность того, что за 4 мин поступит: а) 5 вызовов; б) менее пяти вызовов; в) более пяти вызовов. Предполагается, что поток вызовов – простейший.

Решение:

Для расчета вероятностей воспользуемся формулой Пуассона: