10 заданий. Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя

  • ID: 28145 
  • 11 страниц

Фрагмент работы:

Контрольная работа №1

Задача 1. Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя

Решение:

1....

2....

Задание 2. Для функции..., вычислить производную....

Решение:

а)...

б)...

в)...

Продифференцируем обе части равенства:...

Получим выражение для производной...:....

г)....

Вычислим предварительно:

Тогда:

Задача 3. Задана функция и два значение аргумента.

1. Установить непрерывность или разрыв в данных точках.

2. В случае разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и справа.

3. Выполнить схематический чертеж.

Решение:

Область определения функции....

Исследуем поведение функции в точках:......

1)... - предел слева

- предел справа

В точке...... имеет разрыв 2-го рода, т.к. один из пределов равен бесконечности.

2)... - предел слева

- предел справа

В точке...... имеет разрыв 2-го рода, т.к. один из пределов равен бесконечности.

3)....

Горизонтальная асимптота....

4) Строим график:

Задание 4. Найти наибольшее и наименьшее значение функции... на отрезке...

Решение:

Точка... - точка минимума.

Составим таблицу для определения знака первой производной

x (-1;0) 0 (0;1,5) 1,5 (1,5;3)

+ 0 - не сущ. -

y возрастает... убывает Разрыв

2-го рода убывает

- наименьшее значение.

Ответ:....

Задание 5.. Исследовать с помощью дифференциального исчисления функцию и построить ее график.

1. Область определения функции.

Так как..., то....

2. Четность и нечетность функции.

==> функция не обладает свойствами четной и нечетной функции.

3. Асимптоты.

а) Функция непрерывна на всей действительной оси, кроме точки.... Исследуем характер точек разрыва функции:

Таким образом, точке...- разрыв 2-го рода и прямая... - вертикальная асимптота.

б) Горизонтальные асимптоты:

Значит... - горизонтальная асимптота.

в) наклонные

y=k?x+b

Наклонная асимптота отсутствует.

4. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: полагаем x=0, тогда....

С осью OX: полагаем y=0, тогда....

5. Интервалы монотонности и точки экстремумов.

Найдем производную функции.

при...... - критические точки.

Составим таблицу для определения знака первой производной

x (-?;2) 2 (2;4) 4 (4;...)

- не сущ. + 0 -

y убывает Разрыв

2-го рода возрастает max

ymax=1 убывает

6. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную

:... - точки перегиба....

Составим таблицу для определения знака второй производной

x (-?;2) 2 (2,5) 5 (5;+?)

- нет - 0 +

y выпукла Разрыв

2-го рода выпукла... вогнута

Построим график функции:

Контрольная работа №2

Задача 1. Найти и построить область определения функции двух переменных.

Решение:

Запишем систему неравенств, определяющие область допустимых значений функции:

Построим область определения функции:

Задача 2. Вычислить указанные частные производные. Найти........., если....

Вычислим:

Задача 3. Вычислить приближенно значение..., используя формулы дифференциального исчисления функции двух переменных.

Решение:

Рассмотрим функции... и....

Заметим, что.......

Любую функцию можно разложить в ряд Тейлора в окрестности точки...:

Рассмотрим первую функция, полагая:

где...................

Тогда....

Рассмотрим вторую функция, полагая:

где...................

Тогда....

В итоге...

Задание 4. Найти наименьшее и наибольшее значение функции... в области...

Решение:

Построим исследуемую область:

Рассмотрим функцию... и найдем ее критические точки внутри области:

Решением системы уравнений является точка....

Так как внутри области критических точек нет, то исследуем границу области.

Исследуем поведение на границе:

1. При.........

Точка......

2. При..........

Точка рассмотрена......

3. При......

Получим точки....

4. В условных точках:

:

Сравнивая значения..., получим, что

Наибольшее значение....

Наименьшее значение...

Задача 5. Дана функция... и точка....

Найти: а) градиент данной функции в точке A;

б) производную данной функции в точке A по направлению вектора....

Решение:

а) Найдем частные производные используя формулу:

Вычислим значения... в точке...:

Вектор-градиент равен:...

б) Найдем направляющие косинусы вектора...:

;....

Подставим все найденные значения в формулу для производной по направлению:

Ответ:...;....