Контрольная работа 4, 5, 7: вариант 2

  • ID: 27148 
  • 10 страниц

Фрагмент работы:

Контрольная работа №4

I.

1)...

Проверка:

2)...

Проверка:

3)...

Проверка:

II.

III.

Интеграл равен конечному числу, т.е. интеграл сходится.

IV. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми. Сделать чертеж области.

Построим линии и определим границы фигуры:

==>...

==>...

Найдем пределы интегрирования:

=...

Определим площадь фигуры с помощью определенного интеграла по формуле:

V. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох кривой L.

Сделаем чертеж

Определим пределы интегрирования:

Объем тела вращения вычисляется по формуле:

Контрольная работа №5

I. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле. Сделать чертеж.

Построим область интегрирования:...

Найдем пределы интегрирования.

При y=1 получим: x=-8?(1)3=-8; y=-4?(1)-4=-8

При y=0 получим: x=-8?03=0; y=-4?0-4=-4

Тогда

II.(а). Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями. Сделать схематический чертеж.

Решение:

Заданы поверхности:...

Построим тело и определим его проекцию на плоскость XOY:

Определим пределы интегрирования:

-1?x?1...?y?... 0?z?...

Тогда объем тела будет равен:

III. Требуется: 1) найти поток векторного поля... через замкнутую поверхность... (выбирается внешняя нормаль к...); 2) вычислить циркуляцию векторного поля... по контуру Г, образованного пересечением поверхностей... и... (направление обхода должно быть выбрано так, чтобы область, ограниченная контуром Г, находилась слева); 3) проверить правильность вычисленных значений потока и циркуляции с помощью формулы Остроградского и Стокса; 4) дать заключение о наличии источников или стоков внутри области, ограниченной поверхностью...; 5) сделать схематический чертеж поверхности....

Решение:...

Выполнил схематический чертеж поверхности...:

3) Введем обозначение:....

По теореме Гаусса - Остроградского поток векторного поля через замкнутую поверхность равен:

Поток векторного поля через замкнутую поверхность....

Формула Стокса:..........

Циркуляция векторного потока....

Контрольная работа №7

I. Найти общее решение дифференциального... уравнения и частное решение удовлетворяющее начальному условию... при...

Пусть..., тогда.... Подставим эти выражения в исходное уравнение

Пусть..., тогда...

Тогда...

Найдем решение, удовлетворяющее начальному условию:...

Имеем уравнение для определения постоянной C:

- частное решение

II. Найти общее решение дифференциального... уравнения и частное решение удовлетворяющее начальному условию... при...

Решение:

Уравнение не содержит явно..., поэтому сделаем замену........., тогда

уравнение примет вид:... - уравнение с разделяющимися переменными.

Интегрируя обе части равенства, получим:

или..., где.... Так как..., получим, что...

Общее решение примет вид:....

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

Имеем систему для определения постоянных C1, C2, C3 и C4:

III. Найти общее решение дифференциального... уравнения и частное решение удовлетворяющее начальному условию... при...

Решение:

Найдем сначала общее решение однородного уравнения:....

Составим характеристическое уравнение:

k2-2k+5=0

Тогда общее решение однородного уравнения запишется в виде:

Найдем какое-нибудь частное решение исходного уравнения. Будем искать частное решение в виде:

Подставим эти выражения в уравнение:

Имеем систему уравнений для нахождения коэффициентов a,b,c:

Тогда частное решение будет:...

Общее решение равно сумме 2-х решений:

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

Подставим в уравнения начальные условия:

IV. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений.

Решение:

Составляем характеристическое уравнение системы:

=...

k2-4=0

Таким образом, k1=2, k2=2.

Найдем собственные векторы, соответствующие каждому из корней характеристического уравнения

k1=2

==>...

Пусть ?2=1, тогда ?1=3. Таким образом, (3;1) - первый собственный вектор.

k2=-2

==>...

Пусть ?2=1, тогда ?1=-1. Таким образом, (-1;1) - второй собственный вектор.

Тогда общее решение системы дифференциальных. уравнений запишется в виде:

V. Решить уравнение колебания струны методом Фурье.

Решение:

Общее уравнение колебания струны имеет вид:....

Струна закреплена на концах:..., в нашем случае....

В начальный момент времени форма струны описывается уравнением:

где....

- условие закрепления струны.

Используя метод Эйлера, запишем общее решение уравнения:

где.......