Вариант 9. С точностью найти приближенное значение корня уравнения на интервале изоляции методами

  • ID: 26845 
  • 6 страниц

Фрагмент работы:

Вариант 9. С точностью найти приближенное значение корня уравнения…

Задание №1

С точностью... найти приближенное значение корня уравнения... на интервале изоляции методами:

* деления отрезка пополам;

* простой итерации;

* Ньютона

уравнение... имеет вид:.... Интервал изоляции обозначен.... Ниже приведены значения коэффициентов............, а также границы интервала... для выполнения задания.

1 -3 -1 2 0 1

Решение

Подставив коэффициенты имеем уравнение:

На интервале изоляции график функции имеет вид:

Метода бисекций

Делим отрезок пополам и получаем:...

Делим отрезок пополам и получаем:...

Делим отрезок пополам и получаем:...

Делим отрезок пополам и получаем:...

Делим отрезок пополам и получаем:...

Делим отрезок пополам и получаем:...

Делим отрезок пополам и получаем:...

Делим отрезок пополам и получаем:...

Делим отрезок пополам и получаем:

Заданная точность достигнута, так как...

Корень уравнения:..., так как... ближе к нулю. Для достижения заданной точности пришлось произвести 9 итераций.

Метод простых итераций

Заменим исходное уравнение... на эквивалентное...,и будем строить итерации по правилу.... Таким образом метод простой итерации - это одношаговый итерационный процесс. Для того, что бы начать данный процесс, необходимо знать начальное приближение....

Имеем:

График функций:

Итерационная функция имеет вид:

За начальное приближение примем:

Условие прекращения итерационного процесса:

Тогда...:

Тогда...:

Тогда...:

Тогда...:

Заданная точность достигнута, так как:

Для достижения заданной точности пришлось произвести 4 итерации.

Метод Ньютона

Алгоритм нахождения численного решения уравнения... сводится к итерационной процедуре вычисления:

Производная функция:...

Начальное приближение:...

Условие прекращения итерационного процесса:

Итерационный процесс:

Заданная точность достигнута, так как:

Для достижения заданной точности пришлось произвести 3 итерации.

Задание №2

По заданной таблице значений... методом наименьших квадратов подобрать параметры:

* линейной эмпирической зависимости...;

* квадратичной эмпирической зависимости...;

Выбрать из них "наилучшую"

;...

Решение

Для определения параметров линейной эмпирической зависимости необходимо решить систему уравнений:

Тогда:

Тогда линейное уравнение имеет вид:

Среднеквадратичное отклонение линейной функции от заданных параметров:

Для определения параметров квадратичной эмпирической зависимости необходимо решить систему уравнений:

Тогда:

Решая систему уравнений, имеем:

;...;...

Квадратичное уравнение имеет вид:

Среднеквадратичное отклонение квадратичной функции от заданных параметров:

Среднеквадратичное отклонение между линейной функцией и исходными данными меньше чем для квадратичной зависимости,таким образом, заданные параметры лучше аппросксимируются линейной зависимостью.