Контрольная работа 1, 2, 3: шифр 02

  • ID: 26557 
  • 19 страниц

Фрагмент работы:

Контрольная работа №1

Задача 1.1.2. Вычислить определитель

Решение:

Задание 1.2.2. Найти произведение матриц

Решение:

а)

б)

Задача 1.3.2. Решить систему методом Крамера

Решение:

Найдем главный определитель системы

5 3 -3

=...

5 -4 -4

Т.к. определитель системы не равен 0, то система имеет единственное решение. Найдем его по правилу Крамера

-25 3 -3

=...

2 -4 -4

5 -25 -3

=...

5 2 -4

5 3 -25

=...

5 -4 2

Ответ:..........

Задание 1.4.2. Решить систему с помощью обратной матрицы

Решение:

Найдем обратную матрицу. Для этого найдем определитель и алгебраические дополнения:

3 -5 3

=...

4 3 -4

=...

3 -4 3 -4 -4 5

=...

4 -4 4 -4 1 5

=...

4 3 4 3 1 -4

Тогда

Проверка:

Найдем решение системы C?X=b с помощью обратной матрицы.

Таким образом, решением системы будут числа: x=3, y=-4, z=1.

Задание 1.5.2 Решить систему методом Гаусса

Решение:

Запишем систему алгебраических уравнений в матричной форме... и решим ее методом Гаусса и с помощью обратной матрицы....

где..........

1). Для того чтобы решись систему методом Гаусса, последовательно выполним преобразования, приводящие матрицу к треугольному виду:

1 1 -2 2 1 1 -2 2

8 6 -15 7 ? 0 2 -1 9 ?

5 2 -8 -3 0 3 -2 13

1 1 -2 2 1 1 -2 2

? 0 2 -1 9 ? 0 2 -1 9

0 3 -2 13 0 0 1 1

Видно, что ранг матрицы A равен рангу расширенной матрицы, а значит, система линейных алгебраических уравнений совместна.

Получим систему уравнений вида:

Задание 1.6.2 Решить две системы с одинаковыми главными матрицами

Решение:

(1)... (2)...

1. Запишем расширенную матрицу системы (1) и преобразуем ее методом Гаусса:

4 4 -5 -53 4 4 -5 -53

1 5 -2 -37 ? 0 -16 3 95 ?

5 9 -7 -92 0 -16 3 103

4 4 -5 -53 4 4 -5 -53

? 0 -16 3 95 ? 0 -16 3 95

0 -16 3 103 0 0 0 128

Число ненулевых строк основной равно 2, а расширенной матриц равно 3, поэтому Rg A=2, а Rg A* =3 и по теореме Кронекера-Капелли система несовместна.

2. Запишем расширенную матрицу системы (2) и преобразуем ее методом Гаусса:

4 4 -5 -9 4 4 -5 -9

1 5 -2 -19 ? 0 -16 3 67 ?

5 9 -7 -28 0 -16 3 67

4 4 -5 -9 4 4 -5 -9

? 0 -16 3 67 ? 0 -16 3 67

0 -16 3 67 0 0 0 0

Число ненулевых строк основной равно 2, а расширенной матриц, равно 2, поэтому Rg A=2, а Rg A* =2 и по теореме Кронекера-Капелли система совместна. Ранг основной матрицы равен 2, поэтому в системе есть 2 базисных и 3-2=1 свободная переменная. Найдем общее решение неоднородной системы, причем...- базисные неизвестные:

Получилось общее решение системы:

Контрольная работа №2

Задание 2.1.2. Даны координаты трех точек...

Выполнить следующие действия:

Решение:

а) написать уравнение прямой AB;

уравнение прямой AB запишется в виде:....

Подставляя данные, получим:....

б) найти угловой коэффициент прямой AB;

исходя из преобразованного уравнения..., получим, что....

в) найти отрезки, которые эта прямая отсекает от осей координат, записать уравнение прямой AB в отрезках;

при....

при....

Уравнение в отрезках запишется в виде:....

г) вычислить угол между прямой AB и прямой...;

угловой коэффициент прямой AB..., а угловой коэффициент прямой......, тогда....

д) через точку C провести прямую, параллельную прямой AB;

прямые параллель друг другу, если их угловые коэффициенты равны, поэтому:... - искомое уравнение прямой.

е) через точку C провести прямую, перпендикулярно прямой AB;

для того, чтобы прямые были перпендикулярны друг другу, необходимо выполнение условия для их угловых коэффициентов:..., тогда уравнение примет вид:....

ж) найти проекцию точки C на прямую AB;

координаты проекции точки C на прямую AB, определяются из решения системы 2-х уравнений:

- координаты проекции точки C.

з) найти расстояние от точки C до прямой AB;

Расстояние между двумя точками С и Е определяется формулой:....

и) найти координату точки D, симметричную точке C относительно прямой AB;

точка E - середина отрезка CD, поэтому:....

к) написать уравнение окружности с центром в точке С, и касающейся прямой AB;

общее уравнение окружности имеет вид:..., где...- центр искомой окружности, а...- радиус окружности.

Окончательно, получим:....

л) вычислить площадь треугольника ABC;

для вычисления площади, потребуются вектора:

Вычислим векторное произведение этих векторов:....

Тогда площади грани... равна:....

м) найти центр тяжести треугольника ABC;

центр тяжести треугольника лежит на пересечении медиан. Найдем уравнение 2-х медиан. Их пересечением будет являться центр тяжести.

Вычислим координаты точки...:

Уравнение прямой...:...

Вычислим координаты точки...:

Уравнение прямой...:...

Решаем систему уравнений:

- координаты точки пересечения медиан.

н) найти точку пересечения высот треугольника ABC;

уравнение высоты CD уже найдено.... Найдем уравнение другой высоты BK.

Определим уравнение стороны AC:

Тогда уравнение стороны BK примет вид:....

Решаем систему уравнений:

- координаты точки пересечения высот.

о) через точку C провести прямую, отсекающую равные по величине и знаку отрезки на осях координат;

общее уравнение этой прямой имеет вид:... и так как..., то получим:....

Задание 2.2.2 Даны координаты вершин пирамиды ABCD:

1) длину ребра...;

2) угол между ребрами... и...;

3) синус угла между ребром... и гранью...

4) площадь грани...;

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой...;

7) уравнение плоскости...;

8) координаты вектора, совпадающего с высотой;

9) длину высоты.

Решение:

1. Расстояние между двумя точками определяется формулой:....

Получим:...

2. Для вычисления угла, потребуются вектора:

Тогда:...

3. Для вычисления синуса угла между ребром... и гранью... найдем уравнение плоскости...:

Преобразуя, получим....

В итоге... или уравнение грани... примет вид:....

Координаты вектора... найдены..., вектор нормали к плоскости...имеет вид:....

Угол определим по формуле:..., подставляя значения, получим:.......

4. Для вычисления площади грани... потребуются вектора... и....

Вычислим векторное произведение этих векторов:....

Тогда площади грани... равна:....

5. объем пирамиды... вычислим по формуле:....

В итоге получим:....

6. Каноническое уравнение прямой AB запишется в виде:.... Подставляя данные, получим:....

7. Уравнение плоскости уже найдено:....

8. Координаты вектора, совпадающего с высотой DE:...

9. Длину высоты определим по формуле:

Задание 2.3.2 привести уравнения линий 2-го порядка к каноническому виду; построить данные линии (на чертеже указать "старую" и "новую" системы координат).

Решение:

1. Перепишем уравнение... в виде:

Проведем в скобках "дополнение до полного квадрата" и выполним очевидное преобразование:

Введем "новые" координаты.... Последнее уравнение в "новых " координатах примет вид:... - уравнение окружности с центром в точке... и радиусом....

2. Перепишем уравнение... в виде:

или...

Проведем в скобках "дополнение до полного квадрата" и выполним очевидное преобразование:

Введем "новые" координаты.... Последнее уравнение в "новых " координатах примет вид:... - уравнение эллипса с центром в точке... и полуосями....

3. Перепишем уравнение... в виде:

или...

Проведем в скобках "дополнение до полного квадрата" и выполним очевидное преобразование:

Введем "новые" координаты.... Последнее уравнение в "новых " координатах примет вид:... - уравнение гиперболы с центром в точке... и полуосями....

4. Перепишем уравнение... в виде:

Проведем в скобках "дополнение до полного квадрата" и выполним очевидное преобразование:

Введем "новые" координаты.... Последнее уравнение в "новых " координатах примет вид:

- уравнение параболы. Система координат сдвинута на вектор....

Общий вид кривой:.... В нашем случае....

Задание 2.4.2 Построить график функции в полярных координатах

Решение:

а)...

Проведем дополнительный анализ поведения заданной функции:

Построим график:

б)...

Проведем дополнительный анализ поведения заданной функции:

0...............

0 1 2 1 1 0,29

Построим график:

Контрольная работа №3

Задание 3.1.2 Найти область определения функций

Решение:

а)...

Решение:

Область допустимых решение (ОДЗ) определяется системой неравенств:

Ответ:...

б)...

Область допустимых решение (ОДЗ) определяется системой:

Ответ:....

Задание 3.2.2 Построить график функции

Решение:

а)...

График функции получается из графика... в результате ряда преобразований:

1.... - частота увеличилась в 2 раза.

б)...

Область определения:...

Данная функция получается из функции... сдвигом на вектор....

Здание 3.3.2 Найти указанные пределы

Решение:

а)...

б)...

в)...

г)...

д)...

е)...

Задание 3.4.2 Исследовать на непрерывность и построить схематически график функции

Решение:

а)...

Функция... определена при... и непрерывна на интервалах... и..., так как задана на них основными элементарными функциями.

Исследуем функцию... на непрерывность в точке. Найдем в этой точке односторонние пределы функции.

При...:...

Так как один из односторонних пределов равен бесконечности, то в точке... имеется разрыв второго рода.

Строим график:

б)...

Функция... определена при... и непрерывна на интервалах...... и..., так как задана на них основными элементарными функциями.

Исследуем функцию... на непрерывность в точках... и..., где происходит смена аналитических выражений функции. Найдем в этих точках односторонние пределы функции.

При...:...

Так как односторонние пределы существуют и неравны, то в точке... функция имеет разрыв 1-го рода.

При...:...

Так как предел слева и справа равны, то в точке... функция непрерывна.

Строим график функции

При... строим график..., а при... - график тригонометрической функции...

При... график функции - прямая.

Ответ: Функция... непрерывна во всех точках, кроме точки..., где имеется разрыв первого рода.