Вариант 8: контрольная работа 5, 6

Фрагмент работы:

Контрольная работа №5

Вариант 8

№ 518. Вычислить объем тела [image], ограниченного кривыми [image]

[image]

Решение:

Кривая [image] - окружность радиуса [image] в плоскости XY.

Кривая [image] - парабола [image].

Выполним чертеж:

[image]

Точки пересечения кривых в плоскости XY: [image], [image], [image]

Воспользуемся формулой для вычисления объема заданной фигуры:

[image]

[image][image].

№ 528. Перейдя к полярным координатам, вычислить площадь фигуры D или массу пластины D с плотностью [image]

[image]

Решение:

Кривые [image] - окружности радиусов 3 и 5 с центром в точке [image].

Выполним чертеж:

[image]

Перейдем к полярным координатам:

[image]

В итоге получим:

[image]

[image].

Ответ: [image].

№ 538. Вычислить массу тела. Плотность тела задана функцией [image] [image]

Решение:

Массу тела определим по формуле:

[image]

[image]

Область D показана на рисунке:

[image]

В итоге масса тела равна: [image].

№ 548. Вычислить криволинейный интеграл [image], причем [image].

Решение:

В полярной системе координат элемент кривой определяется по формуле:

Предварительно вычислим [image] [image]

Так как [image], получим:

[image]

[image]

Ответ: [image].

№ 558. Вычислить работу [image] вдоль кривой [image], причем [image].

Решение:

Выполним предварительные вычисления: [image], [image], [image]

Вычислим работу:

[image]

[image]

Получим: [image].

№ 568. Вычислить интеграл, применяя формулу Грина. [image].

Решение:

Введем обозначение: [image].

Вычислим: [image].

Тогда:

[image]

Ответ: [image].

№ 578. Используя формулу Остроградского найти поток векторного поля [image] через внешнюю сторону поверхности [image]

Решение:

Воспользуемся формулой Остроградского: [image], в нашем случае [image].

Получим: [image]