Вариант 8: контрольная работа 5, 6

Фрагмент работы:

Контрольная работа №5

Вариант 8

№ 518. Вычислить объем тела..., ограниченного кривыми...

Решение:

Кривая... - окружность радиуса... в плоскости XY.

Кривая... - парабола....

Выполним чертеж:

…

Точки пересечения кривых в плоскости XY:.........

Воспользуемся формулой для вычисления объема заданной фигуры:

…

№ 528. Перейдя к полярным координатам, вычислить площадь фигуры D или массу пластины D с плотностью...

Решение:

Кривые... - окружности радиусов 3 и 5 с центром в точке....

Выполним чертеж:

…

Перейдем к полярным координатам:

…

В итоге получим:

…

Ответ:....

№ 538. Вычислить массу тела. Плотность тела задана функцией......

Решение:

Массу тела определим по формуле:

…

Область D показана на рисунке:

…

В итоге масса тела равна:....

№ 548. Вычислить криволинейный интеграл..., причем....

Решение:

В полярной системе координат элемент кривой определяется по формуле:

Предварительно вычислим......

Так как..., получим:

…

Ответ:....

№ 558. Вычислить работу... вдоль кривой..., причем....

Решение:

Выполним предварительные вычисления:.........

Вычислим работу:

…

Получим:....

№ 568. Вычислить интеграл, применяя формулу Грина.....

Решение:

Введем обозначение:....

Вычислим:....

Тогда:

…

Ответ:....

№ 578. Используя формулу Остроградского найти поток векторного поля... через внешнюю сторону поверхности...

Решение:

Воспользуемся формулой Остроградского:..., в нашем случае....

Получим:...

Для вычисления интеграла перейдем к цилиндрической системе координат:..., причем...

В итоге получим:

…

Ответ:....

Контрольная работа №6

№ 618. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд....

Решение:

Исследуем на абсолютную сходимость ряд по признаку Даламбера:....

Ряд сходится, следовательно, исходный ряд сходится абсолютно.

№ 628. Найти область сходимости....

Решение:

Ищем радиус сходимости ряда, используя формулу Даламбера:..., в нашем случае....

Тогда....

При... - ряд сходится. Вычислим поведение ряда на концах интервала:

При...:... - ряд расходится как гармонический....

При...:... - ряд расходится по необходимому свойству сходимости рядов....

Ответ: Ряд сходится при...

№ 638. Вычислить... с точностью до 0,001.

Решение:

Используем разложение:

Получим:...

…

Ответ:....

№ 648. При начальных условиях найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд функции..., являющейся решением заданного дифференциального уравнения....

Решение:

Ищем решение в виде разложения в степенной ряд функции...:

…

Найдем три первых, отличных от нуля члена степенного ряда:

…

Тогда три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд, будут иметь вид:

…

№ 658. Разложить в ряд Фурье функцию... в интервале....

Решение:

Ряд Фурье для интервала... имеет вид:..., где

В нашем случае:..., то есть... - четная функция, тогда.... Продолжим функцию... четным образом на полуинтервал....

Вычислим:

…

Ответ:....

…