Вариант 8: контрольная работа 5, 6
- ID: 26430
- 8 страниц
Фрагмент работы:
Контрольная работа №5
Вариант 8
№ 518. Вычислить объем тела [image], ограниченного кривыми [image]
[image]
Решение:
Кривая [image] - окружность радиуса [image] в плоскости XY.
Кривая [image] - парабола [image].
Выполним чертеж:
[image]
Точки пересечения кривых в плоскости XY: [image], [image], [image]
Воспользуемся формулой для вычисления объема заданной фигуры:
[image]
[image][image].
№ 528. Перейдя к полярным координатам, вычислить площадь фигуры D или массу пластины D с плотностью [image]
[image]
Решение:
Кривые [image] - окружности радиусов 3 и 5 с центром в точке [image].
Выполним чертеж:
[image]
Перейдем к полярным координатам:
[image]
В итоге получим:
[image]
[image].
Ответ: [image].
№ 538. Вычислить массу тела. Плотность тела задана функцией [image] [image]
Решение:
Массу тела определим по формуле:
[image]
[image]
Область D показана на рисунке:
[image]
В итоге масса тела равна: [image].
№ 548. Вычислить криволинейный интеграл [image], причем [image].
Решение:
В полярной системе координат элемент кривой определяется по формуле:
Предварительно вычислим [image] [image]
Так как [image], получим:
[image]
[image]
Ответ: [image].
№ 558. Вычислить работу [image] вдоль кривой [image], причем [image].
Решение:
Выполним предварительные вычисления: [image], [image], [image]
Вычислим работу:
[image]
[image]
Получим: [image].
№ 568. Вычислить интеграл, применяя формулу Грина. [image].
Решение:
Введем обозначение: [image].
Вычислим: [image].
Тогда:
[image]
Ответ: [image].
№ 578. Используя формулу Остроградского найти поток векторного поля [image] через внешнюю сторону поверхности [image]
Решение:
Воспользуемся формулой Остроградского: [image], в нашем случае [image].
Получим: [image]