Шифр 50. Даны вершины треугольника. Сделать чертеж и найти длину стороны АВ;. внутренний угол при вершине А

  • ID: 26036 
  • 10 страниц

Фрагмент работы:

Шифр 50. Даны вершины треугольника. Сделать чертеж и найти длину с…

Задача 8. Даны вершины треугольника:

А (12; -2), В (4; 4), С (5; -1);

Сделать чертеж и найти:

1. длину стороны АВ;

2. внутренний угол при вершине А;

3. уравнение высоты, проведенной через вершину С;

4. уравнение медианы, проведенной через вершину В;

5. точку пересечения медианы ВЕ и высоты СD;

6. длину высоты, опущенной из вершины С.

Решение. Начнем решение задачи с выполнения чертежа. Построим точки

А(12;-2), В(4;4), С(5;-1) в прямоугольной системе координат Oxy и, соединив их, получим треугольник АВС. Проведем высоту СD и медиану ВЕ, уравнения которых необходимо найти. Причём..., а точка Е - середина отрезка АС.

1. Длину стороны АВ находим как расстояние между двумя точками А(12;-2) и В(4;4):

2. Отметим, что угол А в треугольнике является острым. Тангенс этого угла можно найти по формуле

Найдем угловые коэффициенты прямых:

Тогда...

С помощью калькулятора или по таблице Брадиса определяем, что такое значение тангенса соответствует углу...А...450.

3. Уравнение высоты СD запишем в виде уравнения пучка прямых, проходящих через точку С:

По условию перпендикулярности СD и АВ:...

Ранее (см. п. 2) было найдено:....

Тогда...

Подставим в уравнение... получим

или...;

- уравнение высоты СD.

4. Медиана ВЕ соединяет вершину В с точкой Е, которая является серединой отрезка АС. Координаты точки Е:

Составим уравнение медианы ВЕ по двум точкам В(-1;4) и Е..., воспользовавшись формулой:....

- уравнение медианы ВЕ.

5. Координаты точки пересечения высоты CD и медианы ВЕ найдем, решив систему уравнений для прямых СD и ВЕ:

В результате получим точку пересечения К..., координаты которой соответствуют точке на чертеже.

6. Длину высоты найдем как расстояние от точки С до прямой АВ по формуле...

Уравнение прямой АВ составим, используя уравнение пучка прямых:

где....

Получим..., или...;

- уравнение прямой АВ.

Тогда....

Ответы:

1)... 2)... 3)... - уравнение высоты СD;

4)... - уравнение медианы ВЕ; 5) К...; 6)...

Задача 18. Вычислить пределы функции y=f(x), при указанном поведении аргумента x.

;

а)...; б )...; в)...; г)...; д)....

Решение: В задаче следует найти предел частного. С этой целью необходимо вычислить пределы числителя и знаменателя дроби, подставив в них предельное значение аргумента.

а)...

Здесь использована теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций.

б)...

При подстановке... в знаменатель и числитель дроби убеждаемся, что значения равны нулю, поэтому теорема о пределе частного здесь не применима. Неопределенность вида... при... может быть раскрыта сокращением дроби на множитель вида (х-х0), который обращает числитель и знаменатель дроби в нуль, в данном случае на (х-2). Поэтому, следует разложить на множители числитель и знаменатель дроби

=...

в)...

Здесь применима теорема о пределе частного.

г)...

Здесь применима теорема о пределе частного, так как существуют конечные пределы числителя и знаменателя, и предел знаменателя не равен нулю.

д)....

Пределы числителя и знаменателя дроби равны.... В этом случае говорят, что имеется неопределенность вида "бесконечность на бесконечность". Теорема о пределе частного здесь не применима.

Чтобы раскрыть неопределенность вида... при..., каждый член числителя и знаменателя дроби делят на x в наивысшей степени (в нашем примере на х2), отчего величина дроби не изменится, но исчезнет неопределенность.

так как............

(по теореме о связи бесконечно большой и бесконечно малой функций).

Ответы....

Задача 22. Найти производные данных функций и их дифференциалы

а)...; б)...; в)...;

г )...

Решение:

а)....

Приведем функцию y к виду, удобному для дифференцирования, используя правила действия со степенями

По правилу дифференцирования суммы и разности функции:

Тогда дифференциал функции y:....

б)...

Воспользуемся правилом дифференцирования частного

где...

Тогда дифференциал функции y:...

в)...

Функция... сложная. Ее можно представить в виде..., где...

Тогда...

Производную функции... находим по правилу дифференцирования произведения:

где...

Таким образом

Тогда дифференциал функции y:

г)...

Производную второго слагаемого найдем как производную сложной функции... где... применяя формулу

:

Производную функции... найдем как производную функции..., где... применяя формулу....

Таким образом...

Тогда дифференциал функции y:

Задача 38. Исследовать функцию y = f (x) средствами дифференциального исчисления и построить ее график

1. Область определения функции.

x?(-?;+?)

2. Четность и нечетность функции.

f(-x)=(-x)3+3(-x)2=-x3+3x2??f(x), поэтому функция свойствами четности или нечетности не обладает

3. Периодичность функции.

Данная функция не является периодической как многочлен.

4. Непрерывность функции.

Данная функция является непрерывной на всей области определения как многочлен.

5. Поведение функции на концах области определения.

6. Интервалы монотонности и точки экстремумов.

Найдем производную функции.

y'=3x2+6x

=...

3x(x+2)=0

x1=0 x2=-2

Составим таблицу для определения знака производной

x (-?;-2) -2 (-2;0) 0 (0;+ ?)

y' + 0 - 0 +

y возрастает максимум

ymax=4 убывает минимум

ymin=0 возрастает

7. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную

y"=6x+6

=...

x=-1

Составим таблицу для определения знака второй производной

x (-?;-1) -1 (-1;+ ?)

y" - 0 +

y выпукла перегиб

yпер=2 вогнута

8. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: полагаем x=0, тогда y=0.

С осью OX: полагаем y=0, тогда.

x3+3x2=0

x2 (x+3)=0

=...

9. Дополнительные точки.

=...

Построим график функции

Задание 42. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

Решение: Вычислим интеграл методом непосредственного интегрирования. При этом используются табличные интегралы от степенных функций:

а)...

Проверка:

б)...

Проверка:

в)...

Проверка:

г)...

Проверка:

Задача 58. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями... и... Сделать чертеж.

Решение: Выполним чертеж кривых... и...

Построим графики функций

- парабола.

Вершина параболы...

=...

- прямая

Найдем пределы интегрирования

=...

x2-5x=0

x(x-5)=0

x1=5 x2=0

Вычислим площадь фигуры