Вариант 2. Вычислить объем тела, ограниченного кривыми

  • ID: 25921 
  • 8 страниц

Фрагмент работы:

Контрольная работа №5

Вариант 2

№ 512. Вычислить объем тела..., ограниченного кривыми...

Решение:

Кривая... - уравнение плоскости с образующей параллельной оси OY.

Кривая... - параболы, причем....

Выполним чертеж:

Проекция уравнения плоскости... на плоскость XOY:...

Воспользуемся формулой для вычисления объема заданной фигуры:

№ 522. Вычислить площадь, перейдя к полярным координатам.

Решение:

Кривая... - окружность радиуса... с центром в точке....

Кривая... - окружность радиуса... с центром в точке....

Выполним чертеж:

Воспользуемся формулой для вычисления площади ограниченной кривыми:

Перейдем к полярным координатам:

В итоге получим:

Определим точки пересечения окружностей:

Таким образом

Ответ:....

№ 532. Вычислить массу тела. Плотность тела задана функцией......

Решение:

Массу тела определим по формуле:

Область D показана на рисунке:

В итоге масса тела равна:....

№ 542. Вычислить криволинейный интеграл..., причем....

Решение:

В декартовой системе координат элемент кривой определяется по формуле:....

Тогда...

Ответ:....

№ 552. Вычислить работу... вдоль кривой..., причем....

Решение:

Вычислим работу:

Получим:....

№ 562. Проверить, что интеграл не зависит от пути интегрирования и вычислить его.

Решение:

Введем обозначение:... и....

Вычислим:....... Так как..., то интеграл не зависит от пути интегрирования. Пусть выбранным путем является прямая от точки... до.... Уравнение прямой AB примет вид:...

Вычислим интеграл вдоль прямой....

Тогда:......

Ответ:....

№ 572. Используя формулу Остроградского найти поток векторного поля... через внешнюю сторону поверхности...

Решение:

Выполним чертеж:

Воспользуемся формулой Остроградского:..., в нашем случае....

Получим:...

- конус с вершиной в точке....

- шар с центром в точке....

Тогда... - объем верхней части шара... - объем конуса.

В итоге получим:

По условию.... Окончательно, получим:...

Ответ:....

Контрольная работа №6

№ 612. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд....

Решение:

Исследуем на сходимость ряд....

Применим необходимый признак сходимости ряда:... - выполняется.

Тогда применим признак Даламбера:

Интеграл сходится, следовательно, исходный ряд сходится абсолютно. Значит, интеграл сходится условно тем более.

№ 622. Найти область сходимости....

Решение:

Ищем радиус сходимости ряда, используя формулу Даламбера:..., в нашем случае.... Тогда....

При... - ряд сходится. Вычислим поведение ряда на концах интервала:

При...:... - ряд знакочередующийся.

Так как... - ряд расходится.

При...:... - данный ряд так же расходится.

Ответ: Ряд сходится при...

№ 632. Вычислить... с точностью до 0,001.

Решение:

Используем разложение:

Получим:...

Ответ:....

№ 642. При начальных условиях найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд функции..., являющейся решением заданного дифференциального уравнения....

Решение:

Ищем решение в виде разложения в степенной ряд функции...:

Найдем три первых, отличных от нуля члена степенного ряда:

Тогда три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд, будут иметь вид:

№ 651. Разложить в ряд Фурье функцию... в интервале....

Решение:

Ряд Фурье для интервала... имеет вид:..., где

В нашем случае:......

Вычислим:

Ответ:....