Вариант 2. Вычислить объем тела, ограниченного кривыми

  • ID: 25921 
  • 8 страниц
350 рубСкачать

25921.doc

Фрагмент работы:

Контрольная работа №5

Вариант 2

№ 512. Вычислить объем тела [image], ограниченного кривыми [image]

Решение:

Кривая [image] - уравнение плоскости с образующей параллельной оси OY.

Кривая [image] - параболы, причем [image].

Выполним чертеж:

[image]

Проекция уравнения плоскости [image] на плоскость XOY: [image]

Воспользуемся формулой для вычисления объема заданной фигуры:

[image]

[image]

[image].

№ 522. Вычислить площадь, перейдя к полярным координатам.

[image]

Решение:

Кривая [image] - окружность радиуса [image] с центром в точке [image].

Кривая [image] - окружность радиуса [image] с центром в точке [image].

Выполним чертеж:

[image]

Воспользуемся формулой для вычисления площади ограниченной кривыми:

[image].

Перейдем к полярным координатам:

[image]

В итоге получим:

[image], [image].

Определим точки пересечения окружностей:

[image]. Таким образом,

[image]

[image].

Ответ: [image].

№ 532. Вычислить массу тела. Плотность тела задана функцией [image] [image]

Решение:

Массу тела определим по формуле:

[image]

[image]

[image]

Область D показана на рисунке:

[image]

В итоге масса тела равна: [image].

№ 542. Вычислить криволинейный интеграл [image], причем [image].

Решение:

В декартовой системе координат элемент кривой определяется по формуле: [image].

Тогда [image]

[image]

Ответ: [image].

№ 552. Вычислить работу [image] вдоль кривой [image], причем [image].

Решение:

Вычислим работу:

[image]

[image][image]

[image]

Получим: [image].

№ 562. Проверить, что интеграл не зависит от пути интегрирования и вычислить его.

[image].

Решение:

Введем обозначение: [image] и [image].