Вариант 7: контрольная работа 1: 7 задач. Контрольная работа 2: 9 задач (в задаче 247 - только пункт а)

  • ID: 25466 
  • 15 страниц

Фрагмент работы:

Контрольная работа №1.

Вариант 7.

№117.

1 1 1 -1 9 4

=...

1 3 6 -2 12 7

-1+4-2 9-25+12 4-14+7 1 -4 -3

=...

-1+12-12 9-75+72 4-42+42 -1 6 4

Найдем обратную матрицу. Для этого найдем определитель и алгебраические дополнения:

1 -4 -3 1 -4 -3

=...

-1 6 4 0 2 1

=...

6 4 6 4 -5 -3

=...

-1 4 -1 4 2 -3

=...

-1 6 -1 6 2 -5

Тогда

Проверка:

1 -4 -3 -2 -2 -3

=...

-1 6 4 7 -2 3

-2+20-21 -2-4+6 -3+12-9 1 0 0

=...

2-30+28 2+6-8 3-18+12 0 0 1

Найдем решение системы C?X=и с помощью обратной матрицы.

-2/3 -2/3 1 4 -1/3*(-8-3) 11/3

=...

-7/3 -2/3 -1 1 -1/3*(28+3) 31/3

Таким образом, решением системы будут числа: x=11/3, y=23/3, z=31/3.

№127.

Запишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее методом Гаусса:

-1 1 2 -1 1 ~ -1 1 2 -1 1 ~ -1 1 2 -1 1

2 -1 0 3 4 0 1 4 1 6 0 1 4 1 6

0 1 4 1 6 0 1 4 1 6 0 0 0 0 0

-4 3 4 -5 -2 0 -1 -4 -1 -6 0 0 0 0 0

Число ненулевых строк как основной, так и расширенной матриц, равно 2, поэтому Rg A = Rg A* =2 и по теореме Кронекера-Капелли система совместна. Ранг основной матрицы равен 2, поэтому в системе есть 2 базисных и 4-2=2 свободная переменная. Выберем в качестве свободной переменную x3 и x4. Найдем общее решение неоднородной системы:

Из общего решения системы найдем какое-нибудь частное решение. Для этого подставим вместо свободной переменной какое-нибудь значение, например, x3=1 и x4=1.

Получим частное решение:....

№137.

Даны:...={3;-2;1}...={2;0;2}...={4;-1;3}

Найдем координаты векторов:

=...

а) скалярное произведение (...-...)?(2...+...):

=...

=...

=...

б) векторное произведение (...-...)?(2...+...):

=...

=...

0 -3 -3

=...

в) смешанное произведение...?...?...:

-1 2 1

=...

2 -1 1

№147.

Даны:...={1;-1}...={4;3}...={-5;7}

Найдем координаты точки М как середины отрезка А2А3:

Запишем уравнение медианы А1М по 2 точкам:

4x-4=-y-1

=...

Найдем угловой коэффициент стороны А2А3:

Т.к. высота А1Н перпендикулярна стороне А2А3, то по условию перпендикулярности двух прямых

Составим уравнение высоты А1Н по известной точке и угловому коэффициенту:

=...

y+1=...(x-1)

4y+4=9x-9

=...

№157.

Вычислить расстояние от точки... до плоскости....

Воспользуемся формулой:

где....

Тогда....

№167.

1) Построим линию по точкам. Составим таблицу для построения:

i ?... ?

0 0 -5,00

1 15 -5,79

2 30 -10,77

3 45 29,14

4 60 5,0

5 75 2,54

6 90 1,67

7 105 1,24

8 120 1,0

9 135 0,86

10 150 0,77

11 165 0,73

12 180 0,71

13 195 0,73

14 210 0,77

15 225 0,86

16 240 1,00

17 255 1,24

18 270 1,67

19 285 2,54

20 300 5,0

21 315 29,14

22 330 -10,77

23 345 -5,79

24 360 -5,00

Построим график линии:

2) Найдем уравнение линии в декартовой системе координат, воспользовавшись формулами:

Подставим эти формулы в уравнение линии:

Получилось уравнение гиперболы с центром С(-20/7;0) и полуосями a=15/7, b=...

Построим график:

№177.

а)...

б) Модуль z:...

Аргумент z:...

в) тригонометрическая форма:

показательная форма:

г) найдем z3 по формуле:

д) Извлечение корня n-й степени из комплексного числа выполняется по формуле:

=...

Изобразим полученные корни точками на плоскости:

Контрольная работа №2.

№207.

a)...b)...

c)...

Данный ряд является геометрической прогрессией с показателями....

Тогда....

№217.

а)...

b)...

с)...

№227.

а) найдем область определения функции...

=...

б) x=-1, x=0 являются точками разрыва. Определим характер разрыва

Т.к. один из односторонних предела равен бесконечности, то в точке x=-1 функция имеет разрыв 2-рода.

в) функцию нельзя доопределить так как точка x=0 имеет разрыв 2-го рода.... Точка x=0 так и остается точкой разрыва.

№237.

Уравнение касательной имеет вид:

Тогда уравнение касательной будет иметь вид:

- уравнение касательной.

Уравнение нормальной прямой будет иметь вид:

Запишем дифференциалы:

тогда в точке.........

№247.

№257.

Преобразуем функцию:

Воспользуемся разложением в ряд Тейлора функции....

Тогда...

Ограничившись пятью первыми, отличными от 0, членами, получим:

№267.

Ищем критические точки, принадлежащие заданному отрезку:

при..., ==>......

Таким образом, на интервале [-1;3]......

№277.

Зритель находится напротив картины. На каком расстоянии от нас он должен стоять, чтобы угол, под которым он видит картину, был наибольшим.

Решение:

Выполним схематичный чертеж:

Дано:....

Введем обозначения:....

Тогда.......

Вычислим угол...:....

Определим значение... при котором угол... принимает максимальное значение...:

Тогда... при....

Ответ:....

№287.

Возьмём произвольную точку... на гиперболе...

Тогда...

Найдём минимум функции...

при... ?...?...

Искомая точка...

№297.

а)...

1. Область определения функции.

=...

2. Четность и нечетность функции.

==> функция свойствами четности или нечетности не обладает.

3. Асимптоты.

Функция не определена в точке x = 0. Исследуем характер разрыва:

Таким образом, точке x = 1 - разрыв 2-го рода.

а) x = 1 - вертикальная асимптота

б) Горизонтальных асимптот нет так как:

в) наклонные

y=k?x+b

Наклонных асимптот нет.

4. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: полагаем x=0, получим, что y=0.

С осью OX: полагаем y=0, тогда....

5. Интервалы монотонности и точки экстремумов.

Найдем производную функции.

при..., получим x=0, x=3/2....

Составим таблицу для определения знака первой производной

x (-?;0) 0 (0;1) 1 (1;3/2) 3/2 (3/2;+?)

- 0 - Не существует - 0 +

y убывает 0 убывает -? убывает min

ymin=... возрастает

6. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную

при... и...... то есть x=...

Составим таблицу для определения знака второй производной

x (-?;0) 0 (0;...)... (...;+?)

- перегиб

yпер=0 - Не существует +

y выпукла 0 выпукла Не существует вогнута

Построим график функции

б)...

1. Область определения функции.

=...

2. Четность и нечетность функции.

==> функция обладает свойствами нечетной функции то есть симметрична относительно начала координат.

3. Асимптоты.

а) вертикальные x=0, т.к.....

б) горизонтальные

- горизонтальные асимптоты.

в) наклонные

y=k?x+b

Наклонных асимптот при x?+? нет.

4. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: полагаем x=0, таких точек нет так как....

С осью OX: полагаем y=0, тогда таких точек нет, так как переменную x нельзя явно вычислить.

5. Возрастание, убывание, точки экстремумов.

Найдем производную функции.

==>..., ==> точек экстремума нет.

Функция везде убывает, так как... для любого....

6. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба

Найдем вторую производную

==>..., точек перегиба нет так как...- точка разрыва.

при... и... при...

Построим график функции