Вариант 5: 6 задач. Вычислить, представить ответ в алгебраической, тригонометрической, показательной формах

  • ID: 25330 
  • 5 страниц

Фрагмент работы:

Вариант 5: 6 задач. Вычислить, представить ответ в алгебраической,…

Вариант 5

1. Вычислить, представить ответ в алгебраической, тригонометрической, показательной формах

Решение:

1.... - алгебраическая форма.

Вычислим модуль z:...

2. тригонометрическая форма:....

3. показательная форма:....

11. Построить линию...

Решение:

Точки пересечения с осями Ох и Оy:

=...

При..., значит точек пересечения с осью Оy нет.

Функция является симметричной относительно оси Оx.

Строим по точкам и каждую точку симметрично отображаем относительно оси Ох.

14. Найти точку М?, симметричную точке М(1, 0, -1) относительно прямой...

Решение:

Запишем уравнение прямой в параметрическом виде:

Запишем уравнение плоскости, проходящей через точку M перпендикулярно прямой:

Найдем точку пересечения прямой и плоскости:

Точка... будет делить отдезок... пополам

Найдем координаты точки... симметричной M:

15. Даны два линейных преобразования:...... Найти преобразование, выражающее... через... и преобразование, выражающее... через...

Решение:

Каждое из преобразований представим в матричной форме:

1)..., где..........

2)..., где..........

Преобразование связывающее вектора... и... будет иметь вид:..., где....

Тогда...

Окончательно:....

16. Найти собственные числа и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей...

Решение:

1) Собственные числа найдем из решения уравнения:

Собственные числа матрицы A:....

Собственные вектора найдем из решения уравнений:....

Для......

Для......

Для.......

Ответ:

Собственные числа матрицы A:....

Собственные вектора матрицы A:..........

17. Дано уравнение кривой второго порядка... Используя теорию квадратичных форм: 1) найти новый базис и направления осей; 2) написать матрицу перехода и проверить, что она является ортогональной; 3) получить матрицу квадратичной формы в новом базисе; 4) изобразить кривую в первоначальной системе координат.

Решение:

1. Запишем характерестическую матрицу кривой второго порядка....

Расширенная матрица кривой второго порядка имеет вид:....

Вычислим собственные числа данной симметричной матрицы:...

Собственные числа матрицы A:... различны и не равны 0, то есть соответствующие собственным числам вектора будут ортогональны друг другу.

Вычислим собственные вектора матрицы A:

Собственные вектора найдем из решения уравнений:....

Для.......

Для.......

Соответствующие единичные вектра... примут вид:....

Старые координаты... выражаются через новые... через равенство:

В качестве новых переменных в новом базисе возьмем вектора....... В новом базисе матрица A квадратичной формы примет вид:....

Расширенная матрица кривой второго порядка имеет вид:....

Тогда уравнение кривой второго порядка запишется ввиде:... - данная кривая является пустым множеством (данном случае называется мнимым эллипсом).

сделаем замену:... и приложим вектора... и... к точке... или перепишем уравнение в кононической форме:... - полуоси мнимого эллипса.

Проверим свойство ортогональной матрицы (...):