Найти обратную матрицу и сделать проверку

  • ID: 25110 
  • 14 страниц

Фрагмент работы:

Раздел 1. Линейная алгебра

Для заданной матрицы найти:

1.1 Обратную матрицу и сделать проверку.

Приведем заданную матрицу к единичной, при этом над единичной матрицей будем проводить те же действия, что и над заданной:

;

Делим первую строку на 2

;

Из второй строки вычтем первую, а из третьей – первую умноженную на :

К третьей строке прибавим вторую:

Делим четвертую строку на -4:

От первой и второй строк отнимем третью умноженную на и :

Делим вторую строку на :

Из первой строки вычитаем вторую, умноженную на :

Получили:,

Сделав проверку умножением, получаем

Проверка показала, что полученная обратная матрица верна.

1.2 Собственные значения, собственные вектора и диагональную матрицу для матрицы.

Определим собственные значения матрицы.

Решая полученное кубическое уравнение получаем значения собственные числа заданной матрицей:

; ;

Найдем соответствующие собственные вектора

Диагональная матрица — квадратная матрица, все недиагональные элементы которой равны нулю. Приведем заданную матрицу к диагональной:

Из второй строки вычтем первую умноженную на, а из третье – первую умноженную на :

К третьей строке прибавим вторую:

От первой и второй строк отнимем третью умноженную на и :

К первой строке прибавим вторую умноженную на :

Полученная матриц является диагональной для матрицы.

1.3 Для уравнения, с заданной выше матрицей, найти компоненты, вектора методом Гаусса, по формулам Крамера и через обратную матрицу.

; имеем систему:

Метод Гаусса:

Запишем расширенную матрицу:

Из второй строки вычтем первую умноженную на, а из третьей – первую умноженную на :

К третьей строке прибавим вторую:

К первой и второй строке прибавим третью умноженную на и :

К первой строке прибавим вторую умноженную на :

Отсюда имеем: ; ;.

Метод Крамера

Решение имеет вид:

Δ - это определитель основной матрицы A, a - определитель матрицы A, в которой i-й столбец заменили столбцом B.

Тогда корни системы:

; ;

Метод обратной матрицы

Вектор корней системы может быть определен как:

;

Проверка решения в системе MathCAD:

Раздел 2. Дифференциальные уравнения

2.1 Составить и решить дифференциальные уравнения первого порядка для электрических цепей. Построить графики переходных процессов для токов в контуре и напряжений на реактивных элементах схемы. Показать, как изменяются токи в электрических цепях, если резистор имеет значения, указанные в таблице.

Решение

Исходные данные: ; ; ;.

Цепь :

При замыкании данной цепи на источник ЭДС в катушке будет возникать ЭДС самоиндукции. Тогда суммарное напряжение в контуре:

где - напряжение на резисторе; - ЭДС самоиндукции.

Закон Ома:

Тогда дифференциальное уравнение для данной цепи:

При уменьшении сопротивления максимальный ток в цепи уменьшается, а также уменьшается время релаксации, однако максимальное напряжение не меняется, а меняется только время релаксации.

Проверка решения в пакете MathCAD:

Цепь :

При замыкании данной цепи на источник ЭДС в катушке будет возникать ЭДС самоиндукции. Тогда суммарное напряжение в контуре:

где - напряжение на резисторе; - ток через конденсатор.

Так как токи во всех элементах последовательной цепи одинаковые, то ток через резистор равен току через конденсатор.

Закон Ома:

Тогда дифференциальное уравнение для данной цепи:

Напряжение на конденсаторе:

Напряжение на резисторе:

Ток через резистор:

Напряжение на конденсаторе и ток через резистор при различных значениях сопротивления:

Проверка решения в MathCAD:

2.2. Составить дифференциальное уравнение для электрической цепи и решить его, построив графики переходных процессов тока и напряжения на одном из реактивных элементов схемы. Параметры схемы. Задачу решить классическим способом и с использованием оператора Лапласа. Показать, как изменятся токи в электрических цепях, если резистор будет иметь значения (0.5 или 2.0)Ома.

Решение

Согласно закону Кирхгофа:

Начальные условия для данного ДУ:

:

Данное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Характеристическое уравнение:

Корни данного уравнения:

;

Для : ;

Исходя из начальных условий:

Для : ;

Аналогично имеем для второго случая:

Для : ;

Из начальных условий:

Графики переходных процессов для трех вариантов сопротивления:

Решение в системе MathCAD:

Раздел 3. Теория вероятности и математическая статистика

Для случайных чисел (10-12 значений) найти математическое ожидание, среднеквадратичное значение, дисперсию, корреляционную функцию и построить графики плотности и функции распределения.

Решение

Пусть случайная величина имеет дискретное распределение, тогда её математическое ожидание:

Среднеквадратичное значение случайных величины при ее дискретном распределении:

Дисперсия случайной величины:

Числовое решения данного задания с использованием системы MathCAD приведено ниже.