2 задания. Показать, что система линейных уравнений имеет единственное решение, и найти его двумя способами: а) по правилу Крамера

  • ID: 24817 
  • 3 страницы

Фрагмент работы:

Задача 1.

Показать, что система линейных уравнений имеет единственное решение, и найти его двумя способами: а) по правилу Крамера; б) матричным способом; в) методом Гаусса.

Дано:....

Подставляя исходные данные, получим:

Решение:

а) решим эту систему по формулам Крамера

Найдем главный определитель системы

-1 4 1

=...

2 2 1

Т.к. определитель системы не равен 0, то система имеет единственное решение. Найдем его по правилу Крамера

3 4 1

=...

-5 2 1

-1 3 1

=...

2 -5 1

-1 4 3

=...

2 2 -5

Проверка:

б) решим эту систему матричным методом. В этом случае решение находится по формуле:

X=A-1?B

Найдем алгебраические дополнения:

=...

2 1 2 1 5 3

=...

2 1 2 1 8 3

=...

2 2 2 2 8 5

в) методом Гаусса

После преобразования система примет вид:....

Проверка проведена в пункте a).

Задача 2.

Пользуясь методом Гаусса, найти общее решение системы линейных уравнений, а также с помощью теоремы Кронекера - Капели доказать совместность системы.

Дано:....

Подставляя исходные данные, получим:

Решение:

Запишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее методом Гаусса:

Число ненулевых строк как основной, так и расширенной матриц, равно 2, поэтому Rg A = Rg A* =2 и по теореме Кронекера - Капели система совместна. Ранг основной матрицы равен 2, поэтому в системе есть 2 базисных и 4-2=2 свободная переменная. Выберем в качестве свободной переменную.... Система, соответствующая полученной матрице, имеет вид:

Перенесем слагаемые с... в правую часть.

Решая эту систему, находим:

Получили общее решение системы.

Базисное решение системы. Полагаем..., тогда...

Найдем еще какое-нибудь решение системы. Пусть..., тогда:....