Контрольная работа 1, 2: задачи 21, 51, 141, 151, 171, 191

  • ID: 24747 
  • 12 страниц

Фрагмент работы:

Контрольная работа 1

Задача 11. Даны координаты вершин пирамиды.... Найти:

1) модули векторов...;

2) угол между векторами... и...;

3) угол между ребром... и гранью...;

4) площадь грани...;

5) объем пирамиды...;

6) уравнение прямой...;

7) уравнение плоскости...;

8) уравнение высоты, опущенной из вершины... на грань....

Решение:

1. Расстояние между двумя точками определяется формулой:....

Получим:...

2.......

Тогда:...

3. Для определения угла между ребром... и гранью..., определим уравнение грани... по формуле:.... Преобразуя, получим.... Получим:... или уравнение грани... примет вид:....

Угол определим по формуле:..., подставляя значения, получим:......, или...

4. Для вычисления площади грани... потребуются вектора... и....

Вычислим векторное произведение этих векторов:....

Тогда площади грани... равна:....

5. объем пирамиды... вычислим по формуле:....

В итоге получим:....

6. Используя формулу, определим уравнение прямой...:

Подставляя данные, получим:....

7. Уравнение плоскости... уже было найдено в пункте 3 и имеет вид:

8. Уравнение высоты, опущенной из вершины... на грань...:

А4

h А2

А1

А3

Задание 21. Уравнение одной из сторон квадрата.... Составить уравнения трех остальных сторон треугольника, если... - точка пересечения его диагоналей. Выполнить чертеж.

Решение: уравнение диагонали, проходящей через точку... имеет вид:.... Из свойств квадрата, диагональ и сторона квадрата пересекаются под углом....

Тогда:....

Уравнние диагонали примет вид:.... Диагонали в квадрате пересикаются под углом..., поэтому уравнение второй диагонали примет вид:....

Ищем точку пересечения диагоналей со стороной квадрата:

(1)... и (2)...

Решая обе системы уравнений, получим точки пересечения. Точка... решение системы (1) и точка... решение системы (2).

Точка... - середина отрезков... и.... Используя свойства менианы, получим:

Аналогично

В результате получим точки.......

Тогда уравнения остальных сторон квадрата запишутся:

Выполним чертеж:

Ответ:...

Задача 31. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от начала координат и от точки...относится как....

Решение:

Обозначим через... произвольную точку, удовлетворяющую заданным условиям. Тогда расстояние от точки... до начала координат равно:.... Расстояние от точки... до точки...:....

По условию задачи....

Получим:....

Преобразуем:... - это уравнение окружности с центром в точке... и радиусом....

Чертёж:

Задача 51. Доказать совместность системы линейных уравнений и решить двумя способами: методом Гаусса и средствами матричного исчисления

Дано:...

Запишем систему алгебраических уравнений в матричной форме... и решим ее методом Гаусса и с помощью обратной матрицы....

где..........

1). Для того чтобы решись систему методом Гаусса, последовательно выполним преобразования, приводящие матрицу к треугольному виду:

Видно, что ранг матрицы A равен рангу расширенной матрицы, а значит система линейных уравнений совместна.

Получим систему уравнений вида:

Проверка:

2). Решим систему алгебраических уравнений с помощью обратной матрицы. Решение имеет вид:....

Найдем... и сделаем проверку. Обратная матрица определяется по формуле...

По определению..., где....

Вычислим отдельно каждый элемент матрицы:

Тогда:...

Проверка:

Тогда...

Ответ:....

Контрольная работа 2

Задача 111. Вычислить пределы функций.

Решение:

a)...

б)...

в)...

г)...

Задача 121. Задана функция и два значение аргумента.

1. Установить непрерывность или разрыв в данных точках.

2. В случае разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и справа.

3. Выполнить схематический чертеж.

Решение:

1)... непрерывна в... и имеет разрыв в....

2)... - предел слева

- предел справа

В точке...... имеет разрыв 2-го рода, т.к. один из пределов равен бесконечности.

3)...

4) Строим график:

Задача 141. Для функции..., вычислить производную....

Решение:

а)....

б)...

в)...

г)...

д)...

Продифференцируем обе части равенства:...

Получим выражение для производной...:....

151. Найти... и...

1)...

2)...

Вычислим предварительно:

Тогда:

Задача 171. Найти наибольшее и наименьшее значение функции.......

Решение:

Вычислим и сравним:

x (0;2) 2 (2;3)

- 0 +

y убывает -9 возрастает

В точке... минимум.

Значение функции на концах:......

Наибольшее значение функции:...

Наименьшее значение функции:...

Задача 191. Исследовать с помощью дифференциального исчисления функцию и построить ее график.

1. Область определения функции.

Так как..., то....

2. Четность и нечетность функции.

==> функция обладает свойствами нечетной функции, то есть график функции симметричен относительно начала координат. Поэтому достаточно рассмотреть случай....

3. Асимптоты.

Функция непрерывна на всей действительной оси, значит вертикальных асимптот функция не имеет.

а) Горизонтальные асимптоты:

в) наклонные

y=k?x+b

Наклонная асимптота отсутствует.

4. Точки пересечения графика с осями координат

С осью OY: полагаем x=0, тогда....

С осью OX: полагаем y=0, тогда... ==>....

5. Интервалы монотонности и точки экстремумов.

Найдем производную функции.

при......: получим...- критические точки.

Проверим достаточные условия экстремума:

значит x = 2 точка максимума.

Максимальное значение....

Составим таблицу для определения знака первой производной

x (-?;-2) -2 (-2;2) 2 (2;...)

- 0 + 0 -

y убывает min

ymax=... возрастает max

ymax=... убывает

6. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную

:... - точки перегиба....

Составим таблицу для определения знака второй производной

x (-?;...)... (...;0) 0 (0;...)... (...;+?)

- 0 + 0 + 0 -

y выпукла вогнута вогнута выпукла

Построим график функции: