Доказать справедливость соотношений. Проиллюстрировать их при помощи диаграмм Эйлера-Венна и составить таблицу

  • ID: 24611 
  • 19 страниц

Фрагмент работы:

Задание 1

Доказать справедливость соотношений. Проиллюстрировать их при помощи диаграмм Эйлера-Венна и составить таблицу истинности.

а) [image]

б) [image]

Решение:

а) [image]

Воспользуемся определением симметрической разности: [image], а также свойством разности [image]:

[image]

[image]

[image]

[image]

[image]

Результаты преобразований левой и правой частей совпадают, значит, соотношение справедливо. Диаграммы Эйлера-Венна:

[image]:

[image]

[image]:

[image]

[image]:

[image]

[image]:

[image]

[image]:

[image]

Составим таблицу истинности:

По таблице истинности видим, что [image], значит, заданное соотношение справедливо.

б) [image]

[image]

[image]

[image]

Результаты преобразований левой и правой частей совпадают, значит, соотношение справедливо. Проиллюстрируем диаграммами Эйлера-Венна:

[image]:

[image]

[image]:

[image]

[image]:

[image]

[image]:

[image]

[image]:

[image]

Составим таблицу истинности:

Так как [image], то заданное соотношение справедливо.

Задание 2

Для отношения [image], заданного на множестве [image], построить матрицу отношения, найти область определения, область значений, дополнение [image], обратное отношение [image]. Определить, выполняются ли для данного отношения свойства рефлексивности, антирефлексивности, симметричности, антисимметричности, транзитивности.

Решение:

Так как [image], то матрица заданного бинарного отношения будет иметь размерность [image]:

[image]

Область определения [image]

Область значений [image]

Дополнение [image]

Обратное отношение: [image]

[image]

Отношение рефлексивно, если [image], то есть главная диагональ матрицы отношения должна состоять только из 1. Это условие выполняется, следовательно, отношение рефлексивно. Следовательно, отношение не является антирефлексивным.