Вариант 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

  • ID: 24548 
  • 3 страницы

Фрагмент работы:

Вариант 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

Контрольная работа №5

Вариант 2

Задание 5.1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения....

Решение:

Сделаем замену.... Тогда уравнение после замены примет вид:.... Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными:..., интегрируя обе части равенства, получим:.... Получим:......, или.......

Общее решение примет вид:....

Задание 5.2. Найти решение задачи Коши....

Решение:

Данное уравнение является линейным относительно переменной y. Тогда решение уравнения будет искать в виде....

Получим после подстановки:.... (1)

Пусть..., тогда.... Интегрируя обе части равенства, получим:

или..., где........ Подставляя в (1), получим:

или..., интегрируя обе части равенства, получим:....... Тогда...

Общее решение примет вид:....

Используя начальные данные..., получим....

Частное решение примет вид:....

Задание 5.3. Найти решение задачи Коши....

Решение:

Уравнение не содержит явно..., поэтому сделаем замену......, тогда

уравнение примет вид:.... Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными:..., интегрируя обе части равенства, получим:.... Получим:......, или.... Возвращаясь к предыдущей замене, получим:..., то.... Интегрируя обе части равенства, получим:....

Общее решение:....

Используя начальные данные..., получим:.............

Частное решение примет окончательный вид:....

Задание 5.4. Найти общее решение дифференциального уравнения...

Решение:

Решаем однородное уравнение:.... Составим характеристическое уравнение

- корень кратности 2. Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид:....

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:.........

Подставляем и получим:...

откуда....

Тогда.... Общее решение:... и....

Задание 5.5. Исследовать сходимость числового ряда....

Решение:

Применим признак Деламбера к исходному числовому ряду....

Вычислим.......

Из признака Деламбера следует, что если..., то ряд сходится. В нашем случае..., значит числовой ряд сходится.

Задание 5.6. Найти область сходимости функционального ряда....

Решение:

Применим признак Деламбера к исходному функциональному ряду....

Ищем радиус сходимости ряда, используя формулу Даламбера:.... Из признака Деламбера следует, что.... Значит при... - ряд сходится.

Исследуем сходимость ряда на концах интервала.

При...:... - ряд знакочередующийся и расходится при..., поскольку степенной ряд растет быстрее, чем экспоненциальный ряд.

При...:... - монотонно возрастающий ряд. Числитель растет быстрее, чем знаменатель, поэтому функциональный ряд расходится.

Ответ: ряд сходится при....