Вариант 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

  • ID: 24548 
  • 3 страницы

Фрагмент работы:

Контрольная работа №5

Вариант 2

Задание 5.1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения [image].

Решение:

Сделаем замену [image]. Тогда уравнение после замены примет вид: [image]. Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными: [image], интегрируя обе части равенства, получим: [image]. Получим: [image], [image], или [image], [image].

Общее решение примет вид: [image].

Задание 5.2. Найти решение задачи Коши [image].

Решение:

Данное уравнение является линейным относительно переменной y. Тогда решение уравнения будет искать в виде [image].

Получим после подстановки: [image]. (1)

Пусть [image], тогда [image]. Интегрируя обе части равенства, получим:

[image] или [image], где [image]. [image]. Подставляя в (1), получим:

[image] или [image], интегрируя обе части равенства, получим: [image], [image]. Тогда [image]

Общее решение примет вид: [image].

Используя начальные данные [image], получим [image].

Частное решение примет вид: [image].

Задание 5.3. Найти решение задачи Коши [image].

Решение:

Уравнение не содержит явно [image], поэтому сделаем замену [image], [image], тогда

уравнение примет вид: [image]. Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными: [image], интегрируя обе части равенства, получим: [image]. Получим: [image], [image], или [image]. Возвращаясь к предыдущей замене, получим: [image], то [image]. Интегрируя обе части равенства, получим: [image].

Общее решение: [image].

Используя начальные данные [image], получим: [image], [image][image], [image].

Частное решение примет окончательный вид: [image].

Задание 5.4. Найти общее решение дифференциального уравнения [image]

Решение:

Решаем однородное уравнение: [image]. Составим характеристическое уравнение

[image], [image], [image] - корень кратности 2. Тогда общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид: [image].

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: [image], [image], [image]

[image].

Подставляем и получим: [image]