Контрольная работа 1, 2, 3, 4: вариант 11

  • ID: 20663 
  • 21 страница

Фрагмент работы:

Контрольная работа 1, 2, 3, 4: вариант 11

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

Задача 1. Вычислить определитель:

11..... = а11*А11+ а12*А12+ а13*А13+ а14*А14

=...

=...

=...

=...

=...

Задача 2. Найти матрицу, обратную данной, и сделать проверку.

11....

Обратная матрица:

=...

;...;...

;...;...

;...;...

Задача 3. Решить систему линейных алгебраических уравнений: a) по формулам Крамера; b) с помощью обратной матрицы, и сделать проверку.

11....

а) По формулам Крамера:

=...

=...

=...

=...

По формулам Крамера:

=...

б) С помощью обратной матрицы: Х=А-1*В

;

;...;...

;...;...

;...;...

Проверка:

Ответ: х=4; y=-3; z=2

Задача 4. Найти ранг матрицы.

11....

Найдем определитель четвертого порядка разложением по четвертой строке:

А41=...

=...

=...

А44=...=0

?4=0

Найдем хотя бы один определитель третьего порядка отличный от нуля:

=...

Ранг матрицы равен 3.

Задача 5. Исследовать на совместность и решить системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса (a,b,c).

1a....

Составляем расширенную матрицу:

Делим каждую строку на ее первый элемент:

Из второй строки вычитаем первую строку:

Вторую строку делим на первый элемент:

Из третьей строки вычитаем вторую:

Третью строку делим на ее первый элемент:

От четвертой строки отнимаем третью:

В четвертой строке имеем противоречие, значит система несовместна.

1b....

Составляем расширенную матрицу:

От второй и третьей строк отнимаем первую, а от четвертой отнимаем первую, умноженную на 4.

Из третьей и четвертой строк вычитаем вторую строку:

Система совместна и имеет множество решений:

Полученной матрице соответствует преобразованная система, где z - свободная переменная:

Ответ: х=2,1; y=0.8х2=-2; z=0.

1c....

Составляем расширенную матрицу:

Делим каждую строку на ее первый элемент:

Из второй строки вычитаем первую строку:

Вторую строку делим на первый элемент:

Из третьей строки вычитаем вторую:

Третью строку делим на ее первый элемент:

От четвертой строки отнимаем третью:

Четвертую строку делим на первый элемент:

Полученной матрице соответствует преобразованная система.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2

Задача 1. Даны точки A, В, C, D. Найти:

1) направляющие косинусы и орт вектора...;

2) угол между векторами... и...;

3) проекцию вектора... на вектор...;

4) работу равнодействующей сил... и... при прямолинейном перемещении ее точки приложения из положения А в положение D;

5) единичный вектор, перпендикулярный векторам... и...;

6) центр тяжести треугольника BCD;

7) показать, что векторы...... и... некомпланарны;

8) найти объем тетраэдра, построенного на этих векторах, и его высоту, опущенную из вершины D на грань АВС.

№ A B C D

11 1; 2; 0 3; 0; -3 5; 2; 6 8; 4; -9

Решение:

=...

Направляющие косинусы:

;...;...

Орт вектора...:...

2) Угол между векторами... и...

=...

3) проекцию вектора... на вектор...

=...

=-2,43

4) работу равнодействующей сил... и... при прямолинейном перемещении ее точки приложения из положения А в положение D.

F=...

=...

5) единичный вектор, перпендикулярный векторам... и...:

6) центр тяжести треугольника BCD:

7) показать, что векторы...... и... некомпланарны:

=...

8) найти объем тетраэдра, построенного на этих векторах, и его высоту, опущенную из вершины D на грань АВС.

Уравнение плоскости АВС:

Уравнение высоты из точки D:

Задача 2. Используя данные задачи 1, доказать, что векторы...... и... линейно независимы. Найти координаты вектора... в этом базисе.

Решение:

=...

Найдем их смешанное произведение:

420+90+36-108-84-150=204..., значит векторы линейно независимы.

Найдем координаты вектора... в этом базисе:...=(2; -2; -3)

Решаем систему уравнений:

=...

=...

=...

По формулам Крамера:

=...

Задача 3. Дана матрица А линейного отображения в некотором ортогональном базисе. Привести матрицу А к диагональному виду путем перехода к новому ортогональному базису.

11.....

Составляем расширенную матрицу:

Задача 4. Найти матрицу преобразования, выражающего... через x, y, z.

11.......

Матрица преобразования равна произведению матриц:

Задача 5. Даны 3 точки А, В и С. Найти:

1. Уравнения прямой АВ: а) через две точки

б) с угловым коэффициентом, в) общее, г) в отрезках на осях.

2. Угол между прямой АВ и прямой 3х + 2у + 4 = 0.

3. Уравнения прямых, проходящих через точку С:

а) параллельно прямой АВ, в) перпендикулярно прямой АВ, в) под углом в 45... к прямой АВ.

4. Расстояние от точки С до АВ.

5. Центр тяжести треугольника АВС (как точку пересечения медиан).

6. Точку пересечения высот.

7. Написать уравнение окружности с центром в точке С и касающейся прямой АВ.

11. A(1;-2), B(3;8), C(7;2).

Решение:

1) Уравнения прямой АВ:

а) через две точки

б) с угловым коэффициентом

в) общее

г) в отрезках на осях.

2. Угол между прямой АВ и прямой 3х + 2у + 4 = 0

=...

=450

3. Уравнения прямых, проходящих через точку С:

а) параллельно прямой АВ

б) перпендикулярно прямой АВ

в) под углом в 45... к прямой АВ.

k2=-3/2

4. Расстояние от точки С до АВ.

Найдем точку пересечения прямой АВ и прямой перпендикулярной прямой АВ проходящей через точку С:

5. Центр тяжести треугольника АВС (как точку пересечения медиан).

Медиана СЕ:

Е=(2; 3)

Медиана BD: D=(5; 5)

Центр тяжести:

6. Точку пересечения высот.

- высота из точки С.

АС:...

Высота на АС:

Точка пересечения высот:

7. Написать уравнение окружности с центром в точке С и касающейся прямой АВ.

Задача 6. Привести уравнения кривых 2-го порядка к каноническому виду путём параллельного переноса системы координат, найти основные параметры, схематично изобразить на чертеже.

=...

=...

=...

Уравнение эллипса с полуосями: а=3; b=2 и центром в точке (5; -2)

Рис.1.

=...

=...

- уравнение параболы с вершиной (0; 1) и фокусом: (0,25; 0)

Рис.2.

=...

=...

=...

Уравнение гиперболы с центром (-2; 1) и фокусами, расположенными на оси оY.

Полуоси:...

Асимптоты гиперболы:...

Ри.3

Задача 7. Даны координаты точек А, В, С, D. Требуется:

1. Составить уравнение плоскости..., проходящей через точки А, В, С.

2. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку D перпендикулярно плоскости....

3. Найти проекцию точки D на плоскость....

4. Вычислить расстояние от точки D до плоскости....

5. Найти точку, симметричную точке D относительно плоскости....

6. Вычислить угол между прямой АD и плоскостью....

7. Вычислить угол между прямыми АD и СD.

№ A B C D

11 -2;-1;-3 -3;3;-6 6;1;4 0;4;1

Решение:

1)...

=...

2)...

3) Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку D:

Подставляем их в уравнение плоскости:

4) Вычислим расстояние от точки D до плоскости....

5) Найти точку, симметричную точке D относительно плоскости....

;...;...

6) Вычислить угол между прямой АD и плоскостью....

7) Вычислить угол между прямыми АD и СD.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3

Задача 1. Найти область определения функции:

11.....

Решение:

Ограничения:

Область определения:

Задача 2. Построить графики функций (a, b, c):

11. a)...

Рис.4

b)...

Рис.5

c)...

Рис.6

Задача 3. Вычислить пределы (не пользуясь правилом Лопиталя):

a)...=...

b)...=...

c)...=...

d)...=...

Разложим на множители:

=...

=...

g)... =...

h)...=...

h)...=...

k)...=

l)...=...

Задача 4. Исследовать функции на непрерывность и построить схематично их графики.

11. a)...

1) Область определения функции:

х=0 - точка разрыва функции.

Функция элементарная при...определена и, значит, непрерывна.

2) Исследуем разрыв односторонними пределами:

Разрыв 1-го рода

Проведем дополнительное исследование при...

Построим схему разрыва и графика данной функции: (рис.7).

b)...

1) х=-2 и х=2 - точки разрыва функции.

2) Исследуем разрывы односторонними пределами:

Устранимый разрыв в точке х=-2

Бесконечный разрыв в точке х=2.

Проведем дополнительное исследование при...

Построим схему разрыва и графика данной функции: (рис.8).

Рис.8

c) y =...

1) Проверим х=-3 и х=2.

=...

Разрыв первого рода:

=...

В точке х=2 функция непрерывна.

Построим схему разрыва и графика данной функции: (рис.9).

Рис. 9.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4

Задача 1. Найти производные функций по определению:

11....

Обозначим:

при..., тогда

Задача 2. Найти... для функций a)-d) и... для функции e):

a)...

b)...

c)...

d)...

e)...

;...

Задача 3. Вычислить приближенно, используя дифференциал.

Задача 4. Вычислить пределы по правилу Лопиталя:

11....=...

Возьмем производные числителя и знаменателя:

Задача 5. Написать уравнения касательной и нормали к заданной кривой y=f(x) в точке, абсцисса которой равна x...:

11....

Найдем производную функции у:

;...

Уравнение касательной:

Уравнение нормали: