Вычисление определителя матрицы методом Гаусса. Решение СЛАУ методом простых итераций. Решение

  • ID: 18276 
  • 16 страниц

Содержание:


Вычисление определителя матрицы методом Гаусса. Решение СЛАУ метод…

Вычисление определителя матрицы методом Гаусса

Пусть дана неособенная матрица

Необходимо найти её обратную матрицу

Вспомним основное соотношение линейной алгебры:

где Е – единичная матрица.

Перемножая матрицы и, получаем уравнений относительно неизвестных :

где

Таким образом, получим n систем линейных уравнений для, имеющих одну и ту же матрицу коэффициентов A и различные столбцы - свободные члены, которые можно одновременно решить методом Гаусса.

Приведя исходную матрицу к верхне-треугольному виду и перемножив элементы на главной диагонали, вычислим определитель исходной матрицы.

Задание

Поменяем местами первую строку со второй, а вторую с третьей.

Приведем заданную матрицу к верхне-треугольной

Из третьей строки вычтем первую:

Из третьей строки вычтем вторую умноженную на

Получили верхне-треугольную матрицу, теперь перемножаем элементы главной диагонали между собой, результат перемножения будет являться определителем исходной матрицы.

Решение СЛАУ методом простых итераций

Рассмотрим особенности применения метода простых итераций при решении СЛАУ

a11*x1 + a12*x2 +... + a1n*xn = b1

a21*x1 + a22*x2 +... + a2n*xn = b2

an1*x1 + an2*x2 +... + ann*xn = bn

или в матричной форме

…xi=0

Задание

В системе MathCAD составляем программу для решения предложенной системы заданным методом

Решение трансцендентного уравнения методом Ньютона

Если известно хорошее начальное приближение решения уравнения f(x) = 0, то эффективным методом повышения точности является метод Ньютона (метод касательных). Метод состоит в построении итерационной последовательности xn+1 = xn – f(xn)/f(xn), сходящейся к корню уравнения f(x) = 0. Сформулируем достаточные условия сходимости метода.

Теорема. Пусть f(x) определена и дважды дифференцируема на [a,b], причём f(a)f(b)0, можно построить последовательность

n = 0,1,2,…

сходящуюся к единственному на [a,b] решению  уравнения f(x) = 0.

Метод Ньютона допускает простую геометрическую интерпретацию. Если через точку с координатами (xn;f(xn)) (рис. 2.2) провести касательную, то абсцисса точки пересечения этой касательной с осью Ox и есть очередное приближение xn+1 корня уравнения f(x) = 0.

Для оценки погрешности n-го приближения корня можно воспользоваться неравенством

где M2 – наибольшее значение модуля второй производной |f(x)| на отрезке [a,b]; m1 –наименьшее значение модуля первой производной |f(x)| на отрезке [a,b]. Таким образом, если |xn – xn-1|0.

3. Оценить снизу величину, оценить сверху величину.

По заданному 0 выбрать значение  для условия окончания итерационного процесса.

Задание

Найти корень уравнения:

Произведем графическое отделение корня:

Корень лежит в интервале

За начальное приближение примем

Проверим условие сходимости :

;

;

Следовательно условие сходимости выполняется

Ответ:

Поиск максимального по модулю собственного значения матрицы степенным методом

Метод носит итерационный характер и предназначен для приближенного решения частичной проблемы собственных значений нахождения максимального по модулю собственного значения матрицы A вместе с соответствующим собственным вектором.

В практических вычислениях степенной метод сопровождается процедурой евклидовой нормировки последовательных приближений. Тогда модифицированная схема степенного метода имеет вид:

Задание

Найти максимальное по модулю собственное значение матрицы и соответствующее значение собственного вектора степенным методом

За начальное приближение возьмем вектор:

Первое приближение:

;

Второе приближение

;

Третье приближение

;

Четвертое приближение

;

И так далее продолжаем выполнять процесс пока не будет достигнута заданная точность, так как эти вычисления достаточно трудоемкие, то не будем приводить здесь всю серию расчетов. В данном примере для достижения точности требуется 19 итераций.

Ниже приведена реализация данного метода в системе MathCAD.

Максимальное значение собственного числа получим решив линейное уравнение полученное умножением первой строки матрицы A на собственный вектор:

или

Произведем поиск собственных значений аналитическим способом

Таким образом максимальное собственное значение будет

Найдем соответствующий ему собственный вектор

Интерполирование многочленом Лагранжа

В численном анализе рассматриваются следующие задачи приближения функций:

Задача наилучшего приближения в нормированном пространстве.

Задана функция y(x), некоторый класс функций X и некоторая норма, или метрика.

Найти функцию, такую что.

Чаще всего используются нормы и, такие что

(равномерное приближение)

(среднеквадратичное приближение)

Задача приближения полиномами.

Пусть класс X состоит из функций вида

где - заданная последовательность функций.

Например, при получаем задачу приближения алгебраическими полиномами. При или - тригонометрическими полиномами и т.п.

Тригонометрическими функциями приближаем, когда строим ряды Фурье.

Общая задача интерполяции.

Пусть f(x) – определена на [a,b] и принадлежит некоторому классу.

Задана сетка узлов a  x0 < x1